¿Sigue de Gödel ' teorema s que este mundo no se puede describir completamente por matemáticas?

Question

¿Cuáles son las fallas en el siguiente razonamiento?

Por el teorema de Gödel, por cualquier sistema formal no contradictorio $F$, al menos tan complejo como la aritmética ordinaria, no existe una verdadera declaración de $G(F)$ (o declaraciones de $G_i(F)$) que no puede ser derivada a partir de este sistema formal.

Si lo extendemos a las matemáticas en general (matemáticas es un sistema formal, que ciertamente incluye ordinario de la aritmética; vamos a marcar toda la matemática con $M$ aquí): en matemáticas ($M$) no existen declaraciones verdaderas $G_i(M)$ que no puede ser derivada por las reglas formales que existen en la actualidad en matemáticas. En otras palabras, de matemáticas, en general no puede contener en sí un procedimiento algorítmico que descubrir todos los posibles enunciados verdaderos en matemáticas ($G_i(M)$).

Lo que básicamente significa que no son verdaderas declaraciones en las matemáticas que necesitan externo explorer para descubrir y probar. Nosotros, las personas, son en realidad tales exploradores y tenemos la capacidad de encontrar y probar algunos de $G_i(M)$. (Bueno, se puede demostrar mediante el uso del teorema de Gödel en sí, pero voy a omitir esta prueba para brievity).

Y por último, lo anterior significa que el mundo en que vivimos no puede ser descrita por las matemáticas en toda su totalidad. Porque, si pudiera, nuestra mente humana (que es sin duda una parte de este mundo) también sería completamente descrito por las matemáticas, que incluiría una descripción algorítmica de nuestra capacidad para encontrar y probar $G_i(M)$, lo cual es una contradicción.

ACTUALIZACIÓN 1:

Segunda toma en el anterior razonamiento (tratando de ser un poco más formal):

1. Por el teorema de Gödel, en cualquier sistema formal no contradictorio $F$, al menos tan complejo como la aritmética ordinaria, no existe una verdadera declaración de $G(F)$ (o declaraciones de $G_i(F)$) que puede ser formulada en términos de $F$ pero no puede ser demostrado con $F$.

2. Todos matemático actual (marcado con $M$) es un sistema formal, para que el teorema de Gödel es aplicable. Por lo tanto, no existe $G(M)$ (o varios $G_i(M)$) que puede ser formulado con $M$, pero no puede ser probado por $M$.

3. También, $M$ no contiene en sí misma un procedimiento algorítmico siquiera sugerir $G(M)$, debido a la existencia de este procedimiento algorítmico dentro de $M$ sería una prueba de $G(M)$. (Más riguroso de la prueba es necesario aquí, supongo.)

4. Los seres humanos (los matemáticos) sin duda puede sugerir algunas $G_i(F)$ y demostrar que ellos después mediante reglas/enfoques adicionales a $F$, formando así un nuevo sistema formal $F'$, donde los $G_i(F)$ son probados para ser verdad. (Tengo que dar algunos buenos ejemplos aquí). Mismo vale para $M$.

5. Por último, actualmente conocido matemáticas $M$ no puede describir el mundo en toda su totalidad, porque al menos no se puede describir nuestra capacidad humana para sugerir $G_i(M)$. Después de probar $G_i(M)$, venimos con nuevas matemáticas $M'$. Pero $M'$ ahora contiene $G_i(M')$ por el teorema de Gödel, y volvemos al paso 3. Esto puede ir en infinidad de veces, y ninguna de las $M$ ni $M'$ ni $M''$ etc. sería capaz de describir completamente el mundo y, en particular, de nuestro pensamiento matemático y la forma de hacer matemáticas.

Así que, ¿cuáles son los defectos/errores en el anterior razonamiento? Ya tenemos algunas buenas respuestas aquí, pero tal vez algunas adiciones o correcciones?

Answer 1

El mayor defecto es que en su presunción de que los seres humanos se pueden encontrar y demostrar enunciados que son verdaderos pero no es demostrable dentro de las matemáticas. Piense acerca de qué es exactamente lo que entendemos por "matemáticas": que presumiblemente significa algo así como "todas las matemáticas a la gente a hacer". En otras palabras, $M$ sería un conjunto de axiomas, de modo que todo lo que los matemáticos jamás he probado de la siguiente manera de $M$. Si es así, ¿cuál es tu evidencia de que un ser humano puede probar algo que no se ha probado por $M$? Por definición, que nunca ha sucedido antes! Y si se pudiera, ¿qué tal una prueba? Tendría que invocar axiomas o pasos de razonamiento que no están en $M$ - pero eso significa que se estaría asumiendo algo que realmente no sabemos que es verdad. Entonces, ¿cómo podemos creer que la "prueba"?

Answer 2

El teorema de gödel es acerca de la axiomática formal de sistemas. La realidad no es axiomático; no humanamente postulado locales son necesarios para su existencia, integridad, o la auto-consistencia. Así que lo que es es parte de un no-axiomática del sistema, aumentando la esperanza de que pueda ser descrito completamente en el contexto de su propio sistema (lo que podría ser). Las matemáticas, que es un sistema axiomático, puede describir un universo mayor de entidades que existen en la realidad física (por ejemplo, no es físico correlaciona con el Último Teorema de Fermat). Algunas de esas entidades aparentemente incluyen verdades no demostrables dentro de determinado axiomático formal de sistemas. Todos que ni establece ni desmiente que cada cosa real puede ser representada por las matemáticas. Si el mundo es completamente descriptible por las matemáticas podría ser, pero no necesariamente, comentadas por el teorema de Gödel.

Answer 3

Me gustaría añadir una perspectiva diferente. Uno de los problemas con el razonamiento es la suposición de que tenemos que captar la realidad en sólo un sistema matemático. Tenga en cuenta que Gödel los teoremas de incompletitud de generar, para cada uno de los "buenos" (es decir, lo suficientemente similares a los de la aritmética) sistema formal $F$, una sentencia de Gödel $G$ que depende del $F$. Así, a lo mejor, esta sería la regla de fuera de tener un gran sistema formal que a nivel mundial representa la "realidad". Pero no se descarta que tener muchos locales de los sistemas que representaban aspectos de la realidad y que, conjuntamente, agotado.

Answer 4

Usted tiene que tener cuidado con lo que quieres decir por "verdadera". En Gödel del teorema de la incompletitud, por ejemplo, la "verdad" se refiere a la verdad en un modelo específico de la aritmética ($\mathbb{N}$, para ser más específico - el llamado modelo estándar de la aritmética).

Por el contrario, Gödel de la integridad teorema de que nada de lo que es verdadero en cualquier modelo (se entiende "todo el mundo" si usted no sabe cualquier modelo de la teoría) es comprobable: en otras palabras, lo cierto es demostrable. Por supuesto, esto no contradice la versión del teorema de la incompletitud usted declaró.

Así que, con eso en mente, ¿qué queremos decir por "verdadera" ? Por ejemplo, para la teoría de conjuntos (por ejemplo, ZFC) no tiene sentido referirse al modelo estándar de la teoría de conjuntos, porque no existe tal cosa. En particular, la versión del teorema de Gödel ha citado usted no tiene ningún sentido que las teorías que no pueden ser interpretadas en $\mathbb{N}$ (o algún "modelo estándar") !

En particular, no se puede aplicar la versión "no son ciertas las declaraciones que no demostrable" del teorema de Gödel para la matemática del universo (y hay poca esperanza en la aplicación del teorema del universo físico, de todos modos)

Answer 5

Hay un supuesto injustificado en el que la mente humana y los procesos de pensamiento humano es una parte de este mundo.

...nuestra mente humana (que es sin duda una parte de este mundo)...

De no obtener religiosa en las matemáticas de intercambio de la pila, pero estrictamente lógicamente, debe proceder a partir de supuestos básicos sólo a conclusiones basadas en sus supuestos. Usted no puede hacer suposiciones ocultas y obtener una validez universal conclusión.

Tomando el mismo conjunto de supuestos que tienen, aún podría ser posible que las matemáticas podrían ser utilizados para describir todo acerca del mundo en que vivimos, a excepción de la mente humana.

También se ha asumido que la mente humana es la capacidad para resolver los problemas sólo los ingresos a lo largo de las líneas que podría ser a través de algoritmos descritos. Hay un montón de contraejemplos, como el ESP, la telepatía, la presciencia, etc., aunque, por supuesto, debido a su naturaleza, las que generalmente son ignorados por los científicos en busca de sólidos demostrables de la evidencia sobre la naturaleza del mundo. Si sólo considerar el comportamiento de la mente humana, que se comportan como Máquinas de Turing, entonces por supuesto que va a aparecer para que las mentes funcionan como Máquinas de Turing (furtivo tipo de sesgo de selección).

La naturaleza de la vida es la clave a tu pregunta, en un hecho real. Si son sólo una Máquina de Turing (que es totalmente no comprobados), entonces su razonamiento se sostiene. De lo contrario, no.