¿Se consideran conjuntos los "pares, triples y cuádruples"?

Question

Siempre he interpretado "par, triple, cuádruple" como "conjuntos que contienen dos, tres y cuatro elementos". Nunca he comprobado esta suposición.

Considere los siguientes ejemplos:

• La pareja $(V, \|\cdot\|)$ es un espacio normado. Otro ejemplo es el de un grafo con vértices y aristas $(V, E)$ .

• El triple (triplete) $(S, (u_i)_{i \in S}, (a_i)_{i \in S})$ es un juego.

• El cuádruple $(V, F, +, \times)$ es un espacio vectorial.

¿Son estas cosas conjuntos? Por ejemplo, he visto que la gente define "subgráfico", "subjuego", etc., lo que esencialmente me implicó que estas cosas son conjuntos.

Se me ocurrió que podría ser extraño pensar en ellos como conjuntos, porque los elementos del conjunto son muy diferentes entre sí, por ejemplo, el ejemplo del espacio vectorial, o un dígrafo, donde insertamos una operación adicional $o$ que especifica la orientación.

¿Qué tipo de estructuras matemáticas son estos objetos? ¿Se pueden definir operaciones sobre estos objetos? ¿Cuáles son todas las operaciones que se pueden definir sobre estos objetos?

Answer 1

¿Son estos conjuntos de cosas?

Sí y no

A set es una colección desordenada de elementos. Así que cuando una definición dice que "El par ordenado $(V,\|\cdot\|)$ es un espacio normado, donde ", la palabra "ordenado" dice que no se trata de un conjunto. Además, la palabra "ordenado" se omitiría a menudo, porque convencionalmente "pares", "triples", , "tuplas" tienen el significado de "pares ordenados", "triples ordenados", , "tuplas ordenadas".

Dicho esto, como ya se ha mencionado en otra respuesta (¡muy buena!), los pares y las tuplas más largas pueden modelarse como conjuntos, pero eso no es importante aquí. La gente que trabaja con espacios normados definidos como pares $(V,\|\cdot\|)$ casi nunca piensan en ellos como el conjunto $\{\{V\},\{V,\|\cdot\|\}\}$ .

Observe que en este ejemplo (y de forma similar en todos los demás ejemplos que ha mencionado), los dos elementos del par $(V,\|\cdot\|)$ ¡son cosas muy diferentes! $V$ es un conjunto de elementos de ese espacio, mientras que $\|\cdot\|$ es una función $\|\cdot\|\colon V\to\mathbb{R}$ .

Gracias a que son cosas diferentes, probablemente no necesitamos el orden en " $(V,\|\cdot\|)$ ", ya que sería bastante fácil interpretar " $(\|\cdot\|,V)$ " como la misma cosa sin ninguna confusión. Mi opinión (y podría equivocarme) es que la tradición de establecer estas definiciones como pares o tuplas (¡ordenadas!) no es una necesidad, sino una cuestión de gran comodidad. Por una vez, si estamos definiendo algo en matemáticas, debería definirse de forma rigurosa e inequívoca. Incluso si hay que hacer algunas elecciones aleatorias y no tan importantes, deberíamos hacerlas de todos modos, para asegurar la comprensión mutua. En segundo lugar, definir " $(\|\cdot\|,V)$ " sería terriblemente inconveniente, porque tal y como lo leemos querríamos naturalmente definir $\|\cdot\|$ primero - pero no podemos: tenemos que usar $V$ en su descripción, pero aún no se ha definido, ya que viene en segundo lugar en nuestro par. ¿No es más conveniente que nuestra notación refleje lo que hacemos? Así que pongamos $V$ ¡primero!

He visto que la gente define "subgráfico", "subjuego", etc., lo que esencialmente implicaba para mí que estas cosas son conjuntos.

Es un abuso muy común del lenguaje y la notación al que tendrás que acostumbrarte. En todas estas estructuras está el conjunto subyacente, como $V$ y elementos adicionales que describen una determinada estructura (la función de norma para un espacio normado; el conjunto de aristas para un grafo; el campo base y las dos operaciones para un espacio vectorial; etc.). Es muy común utilizar el mismo nombre para el conjunto subyacente $V$ sólo cuando el contexto es claro. Y como $V$ es un conjunto, tiene subconjuntos, llamados "subespacios", "subjuegos", etc.

He aquí un ejemplo. Una vez más, un espacio normado es un par $(V,\|\cdot\|)$ , donde $\|\cdot\|\colon V\to\mathbb{R}$ es una función (sujeta a ciertas propiedades, no importantes para esta discusión). Un "subespacio normado" debe ser, naturalmente, un espacio normado en sí mismo. Así que la definición correcta es que un subespacio normado de un espacio normado $(V,\|\cdot\|)$ es un espacio normado $(U,\|\cdot\|')$ , donde $U\subseteq V$ y $\|\cdot\|'\colon U\to\mathbb{R}$ se define restringiendo el dominio de $\|\cdot\|$ a $U$ . Pero como la mayor parte de esto está suficientemente claro, es bastante normal decir "Que $U$ sea un subespacio de $V$ ", lo cual es un abuso del lenguaje y la notación, pero es una abreviatura aceptada para referirse a la definición técnicamente correcta de ser un "subespacio normado".

Answer 2

"tupla" es un término general y puede significar cualquier número de elementos, no un par de elementos. Si se trata de dos elementos exactos, se habla de un par ordenado de elementos. La frase $k$ -tupla significa un arreglo ordenado de $k$ artículos, por lo que $3$ -tupla es una triple ordenada, $4$ -tupla es un cuádruple ordenado, etc.

Tenga en cuenta que los conjuntos en sí mismos son colecciones desordenadas, por lo que para representar los elementos de una colección ordenada, tenemos que construir los conjuntos de alguna manera especial que represente la ordenación, así como los elementos de la colección.

No hay una única manera de hacerlo, pero para empezar puede leer sobre el par ordenado de Kuratowski , donde $(a,b)$ está representado por el conjunto $\{\{a\},\{a,b\}\}$ .

Una vez decidida la forma de representar un par ordenado como un conjunto, se puede iterar para crear un $k$ -tupla, es decir, una lista de longitud $k$ . Por ejemplo, podríamos identificar un triple ordenado $(a,b,c)$ con el par ordenado $(a,(b,c))$ . Esto puede continuar recursivamente hasta cualquier número de elementos (o longitud de la lista/tupla) que se desee.

Answer 3

No.

Considere el siguiente ejemplo:

Un número racional es un número que puede ser representado por un par de enteros.

Si un par fuera un conjunto, no habría ningún elemento (1,1) . Así que cuando se utiliza "par" en esta definición (yo diría que se leen muchas definiciones como esta para pares/tuplas), no puede ser un conjunto ya que puede tener entradas duplicadas.

Por supuesto, algo como una tupla (v, e) donde e es una arista incidente en v parece que se puede representar por un conjunto, porque los objetos son claramente de diferentes conjuntos de origen y no se pueden confundir como cuando se tienen pares de números naturales.