¿Por qué la transposición de una matriz singular es singular?

Question

Tengo que demostrar este lema sin utilizar el concepto de rango ni el concepto de determinante:

$A$ es una matriz singular si $A^T$ es singular

Desgraciadamente sólo he encontrado pruebas que contienen el rango y el determinante. ¿Puede ayudarme?

Answer 1

Supongamos por contradicción que $A^T$ fuera invertible, entonces habría una matriz $B$ con $BA^T=I$ . Pero eso significa $I=I^T=(BA^T)^T=AB^T$ Así que $B^T$ sería un inverso para $A$ , lo cual es imposible.

Answer 2

Formalmente, una matriz singular $A$ es uno para el que allí no existe otra matriz $B$ con $AB=BA=I$ .

La afirmación aquí puede demostrarse a través del contrapositivo: si $A$ no es singular, existe algún $B$ con $AB=I$ . Transponiendo esto se obtiene $B^TA^T=I$ Así que $A^T$ no es singular. Así, si $A^T$ es singular, $A$ es singular. Sustitución de $A$ con $A^T$ en la última frase da la otra dirección, por lo que se establece la afirmación original.

Answer 3

Si $A$ fueran singulares, entonces el núcleo (espacio nulo) de $A$ tiene vectores no nulos en ella. Es decir, $Ax = 0$ admite soluciones no triviales (no nulas). Ahora toma la transposición en cada lado. Entonces, si $x$ es distinto de cero, también lo es $x^T$ (claramente), y así $x^T A^T = 0^T$ también admite soluciones no nulas, por lo que $A^T$ es singular.