En primer lugar, por definición, supongo que $0.999...$, en realidad se define como: $$\text{lim}_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n 9/10^i$$
Ahora por la serie geométrica ya sabemos que esto es igual a uno. Pero, no obstante, aquí es una prueba explícita. La instrucción es: $$\forall\epsilon_+\exists\delta\forall n (n>\delta\rightarrow|\sum_{i=1}^n 9/10^i-1|<\epsilon)$$
Que es equivalente a:
$$\forall\epsilon_+\exists\delta\forall n (n>\delta\rightarrow|\sum_{i=0}^n 9/10^i-10|<\epsilon)$$
Deje $\epsilon>0$ ser un número real. Ahora tenga en cuenta que $\sum_{i=0}^{n} 9/10^i=10-1/10^n$. Elija $\delta=\text{max}(1,\text{ceil(log}(1/\epsilon)))$
Como tales: $|10-10-1/10^n|=1/10^n<1/10^{\text{ceil(log}(1/\epsilon))}\leq 1/10^{\text{log}(1/\epsilon)}=\epsilon$
Que funciona bien...
Sin embargo, he aprendido que $0.999...=1$ no se mantienen en todos los sistemas de números, tales como hyperreals y surreals y lo que no. No estoy seguro acerca de los números racionales (aunque la prueba parece que podría funcionar para los racionales con pequeños retoques)... yo creo que la declaración aún no puede ser formulado en el primer orden de teoría de la real cerrada campos como la $n$ es cuantificado a través de los naturales, por lo que hay una serie de sistemas que aún no pueden expresar el hecho.
Lo que en la prueba que va mal en la no-estándar de los sistemas de numeración y ¿cuáles son las principales características de los sistemas que causa esto? También, una prueba de que el hecho de NO mantener en dichos sistemas es bienvenida!
