Verde ' s función Ode 1

Question

Alguno me puede ayudar a cómo encontrar una) función de Green para los dos y cómo puedo resolver estos mediante función de verdes

1) $\frac{d}{dt}(\frac{1}{t+1}\frac{dy}{dt})=f(t); \quad y(0)=y(1)=0$

2) $\frac{d}{dt}((t+1)\frac{dy}{dt})=f(t); \quad y(0)=1;y(1)=-1$

Answer 1

Empezar con las soluciones de la ecuación homogénea: $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t+1}\frac{dy}{dt}\right) = 0. $$ Este sistema es integrable $$ \frac{1}{t+1}\frac{dy}{dt} = C \\ \frac{dy}{dt} = C(t+1) $$ La solución general involucra dos constantes $D$$E$: $$ y = D(t+1)^{2}+E. $$ Las soluciones satisfactorias $y(0)=0$ tiene la forma $D(t^{2}+2t)$. Las soluciones satisfactorias $y(1)=0$ tiene la forma $E(t^{2}+2t-3)$. La función de Green $y_{x}(t)$ se obtiene juntando las dos soluciones, de modo que (a) cumplen continuamente en $x \in [0,1]$ y (b) $\frac{1}{t+1}y'(t)$ cuenta con una unidad de salto en $t=x$, lo que intuitivamente le da $$ \frac{d}{dt}\frac{1}{t+1}\frac{d y_{x}(t)}{dt} = \delta_{x}(t). $$ La continuidad de la $y_{x}(t)$ $t=x$ $y_{x}(0)=0$ $y_{x}(1)=0$ fuerzas de ahí a ser una constante a lo $C$ tal que $$ y_{x}(t) = C\left\{\frac{t^{2}+2t}{x^{2}+2x}\chi_{[0,x]}(t)+\frac{t^{2}+2t-3}{x^{2}+2x-3}\chi_{[x,1]}(t)\right\} $$ Entonces, para $t \ne x$, $$ \frac{1}{t+1}y_{x}'(t) = C\left\{ \frac{2}{x^{2}+2x}\chi_{[0,x]}(t)+ \frac{2}{x^{2}+2x-3}\chi_{[x,1]}(t)\right\} $$ El salto en esta función en $t=x$ es $$ \begin{align} y_{x}(x+0)-y_{x}(x-0) & = 2C\left\{\frac{1}{x^{2}+2x-3}-\frac{1}{x^{2}+2x}\right\} \\ & =\frac{6C}{(x^{2}+2x-3)(x^{2}+2x)}. \end{align} $$ Que requieren el salto a ser $1$ da $$ C = \frac{1}{6}(x^{2}+2x-3)(x^{2}+2x). $$ Así que la función de Green es $$ \begin{align} y_{x}(t) & = \frac{1}{6}(x^{2}+2x-3)(t^{2}+2t)\chi_{[0,x]}(t)+ \\ & + \frac{1}{6}(x^{2}+2x)(t^{2}+2t-3)\chi_{[x,1]}(t). \end{align} $$ La solución de (1) es $$ \begin{align} y(t) & = \int_{0}^{1}y_{x}(t)f(x)dx \\ & = \frac{1}{6}(t^{2}+2t-3)\int_{0}^{t}(x^{2}+2x)f(x)dx+ \\ & + \frac{1}{6}(t^{2}+2t)\int_{t}^{1}(x^{2}+2x-3)f(x)dx. \end{align} $$ Comprobar la Solución: Directamente verificar que $y(0)=y(1)=0$. Entonces $$ \begin{align} y'(t) & = \frac{1}{6}(2t+2)\int_{0}^{t}(x^{2}+2x)f(x)dx+ \\ & + \frac{1}{6}(2t+2)\int_{t}^{1}(x^{2}+2x-3)f(x)dx. \\ \frac{1}{t+1}y'(t) & = \frac{1}{3}\int_{0}^{t}(x^{2}+2x)f(x)dx+ \\ & + \frac{1}{3}\int_{t}^{1}(x^{2}+2x-3)f(x)dx. \\ (\frac{1}{t+1}y')' & = \frac{1}{3}(t^{2}+2t)f(t)-\frac{1}{3}(t^{2}+2t-3)f(t) \\ & = \frac{1}{3}3f(t) = f(t). \end{align} $$ (2) seleccione $0$ extremo condiciones y, luego, cuando haya terminado de agregar una combinación lineal de las soluciones de la homogénea de la ecuación diferencial en orden para que coincida con el cero de extremo condiciones.