Grupo de cocientes de$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

Question

Estoy trabajando en algunos problemas de la práctica y quisiera conseguir un par de soluciones marcada (más por venir!). Deje $H$ ser el subgrupo de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ generado por los elementos de a$(2, 2)$$(3, 4)$. Primero de un conjunto mínimo de elementos que generen $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) ~ / ~ H$ (ya que sus imágenes por el natural homomorphism $g \mapsto g + H$) y la lista de todos los elementos de este cociente grupo y, a continuación, describir este cociente grupo.

Primero vamos a simplificar la presentación de $H$ un poco por la simplificación de los generadores: si $H$ es generado por $(2, 2)$$(3, 4)$, entonces se genera por $(2, 2)$$(3, 4) - (2, 2) = (1, 2)$, y así se genera por $(2, 2) - (1, 2) = (1, 0)$$(1, 2)$, y así se genera por $(1, 0)$ $(1, 2) - 2 (1, 0) = (0, 2)$ (esto podría ser formalizados en un teorema, ya que es esencialmente el algoritmo de Euclides). Tan geométricamente $H$ abarca el conjunto de celosía de puntos de la forma $(m, 2n)$ donde $m$ $n$ son enteros. De ahí que las particiones $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})$ en exactamente dos cosets $H$$(0, 1) + H$. Desde $(0, 2) + H = H$, el cociente grupo es generado por un solo elemento $(0, 1) + H$, y contiene dos elementos $H$$(0, 1) + H$. Como tal, es isomorfo a $C_2$.

Es esta una (y correcta) riguroso respuesta y hay cosas que se pueden mejorar? Una cosa, estoy un poco preocupado es que el problema me pide encontrar un conjunto de generadores para el cociente de grupo antes de pedir sus elementos y su descripción, mientras que yo he hecho lo contrario: hubo un mejor enfoque a la búsqueda de sus generadores?

Answer 1

Aplicando el método ya mencionado de la forma Normal de Smith: la matriz de generadores es

$$A=\begin{pmatrix}2&2\3&4\end{pmatrix}\stackrel{C_2-C_1}\longrightarrow\begin{pmatrix}2&0\3&1\end{pmatrix}\stackrel{C_1-3C_2}\longrightarrow\begin{pmatrix}2&0\0&1\end{pmatrix}\stackrel{\begin{align}C_1\leftrightarrow C_2\R_1\leftrightarrow R_2\end{align}}\longrightarrow\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix}$$

Así, $\;H\cong \Bbb Z\oplus 2\Bbb Z\;$ y así $\;\left(\Bbb Z\otimes\Bbb Z\right)/K\cong\Bbb Z/2\Bbb Z=:\Bbb Z_2\;$

Nota la dio precisamente el mismo generadores tienes. La ventaja que ofrece el método de Smith es que metódicamente puede aplicarlo haciendo operaciones de fila o columna muy básico en alguna matriz de relaciones dado, mucho como operaciones elementales sobre matrices lo que sabemos del algebra lineal.

Answer 2

Que $\alpha=(2,2)$ y $\beta=(3,4)$. En general cualquier miembro de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/H$ será el % de forma $(a,b)+H$. Podremos distinguir entre dos casos es $b$ y $b$ es impar. $$ (a, b) =\begin{cases} & 2a(\alpha -\beta) + \frac{b}{2}(2\beta-3\alpha), \text{ if } b \text{ is even}\ & 2a(\alpha -\beta) + \frac{b-1}{2}(2\beta-3\alpha)+(0,1), \text{ if } b \text{ is odd} \end{casos} $$ $\alpha, \beta \in H$ y $H \leq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, por lo tanto $$ (a, b) + H =\begin{cases} & H, \text{ if } b \text{ is even}\ & (0,1)+H, \text{ if } b \text{ is odd} \end{casos} $$ esto nos da el mínimo conjunto de generadores, así como una descripción completa del grupo cociente.