$n$ -Cubierta ramificada de láminas

Question

Álgebra de Michael Artin

dejar $f(x,y)$ sea un polinomio irreducible en $\mathbb{C}[x,y]$ que tiene grado $ n>0$ en la variable $y$ . La superficie de Riemann de $f(x,y)$ es un $n$ -cubrimiento ramificado del plano.

La descripción en el libro de texto para el $n$ -¿Puede alguien explicarme este corolario de forma no tan abstracta y darme algunas pistas para entender estos conceptos?

Answer 1

Supongo que por "la superficie de Riemann de $f$ " se refiere al conjunto $V = \{(x,y)\in \mathbb{C}^2 : f(x,y) = 0\}$ . Este conjunto $V$ no es exactamente una superficie de Riemann, ya que probablemente tendrá algunas singularidades, pero será un espacio analítico unidimensional (complejo).

Dejemos que $\pi\colon V\to \mathbb{C}$ sea la proyección $\pi(x,y) = x$ . Este será el $n$ -mapa de cobertura ramificada. Intuitivamente, se quiere pensar en esto como si se dijera que la preimagen $\pi^{-1}(x_0)$ de la mayoría de los puntos $x_0\in \mathbb{C}$ consiste en $n$ puntos en $V$ . Supongamos que escribo $f$ como $$ f(x,y) = p_n(x)y^n + p_{n-1}(x)y^{n-1} + \cdots + p_0(x),$$ donde el $p_i(x)$ son polinómicas es $x$ y, por supuesto, $p_n(x)\not\equiv 0$ . Entonces, si he arreglado $x_0\in \mathbb{C}$ la preimagen $\pi^{-1}(x_0)$ consiste en esos puntos $(x_0,y)\in \mathbb{C}^2$ para lo cual $p_n(x_0)y^n + \cdots + p_0(x_0) = 0$ . Si $p_n(x_0)\neq 0$ el grado de este polinomio es $n$ y por lo tanto hay exactamente $n$ tales valores de $y$ , al menos cuando se cuenta con multiplicidades. Para la mayoría de los valores de $x_0$ Incluso habrá por exactamente $n$ tales valores de $y$ . De hecho, puede mostrar lo siguiente

Existe un conjunto finito $S\subset\mathbb{C}$ tal que para cada $x_0\in \mathbb{C}\smallsetminus S$ la preimagen $\pi^{-1}(x_0)$ consiste exactamente en $n$ puntos, y además, el mapa $\pi\colon V\smallsetminus \pi^{-1}(S)\to \mathbb{C}\smallsetminus S$ es un grado $n$ mapa de cobertura.

Intuitivamente, el término "cobertura ramificada" se refiere a un mapa que es un mapa de cobertura real excepto sobre algunos puntos malos que tendrán menos del $n$ puntos de preimagen. Es más fácil de imaginar que de definir, así que aquí hay una imagen que he sacado de la wikipedia.

Esta es una imagen esquemática de un grado $3$ cubierta ramificada. Debería pensar en $V$ como ser $X$ y $\mathbb{C}$ como ser $Y$ y el mapa $\pi$ como el mapa $f$ de la imagen (la proyección hacia abajo). Este mapa es un grado real $3$ mapa de cobertura excepto en los puntos marcados con puntos azules; estos serían el conjunto $S$ .

También debería decir algo sobre la suposición de irreducibilidad de su polinomio $f$ . Si no tuvieras esta suposición, sería posible que, por ejemplo $x$ para dividir $f(x,y)$ . Si este fuera el caso, entonces $\pi^{-1}(0)$ sería el conjunto $\{(0,y) : y\in \mathbb{C}\}$ un conjunto infinito. Si esto ocurriera, entonces $\pi\colon V\to \mathbb{C}$ no se consideraría una cubierta ramificada: la preimagen $\pi^{-1}(x_0)$ de un punto $x_0\in \mathbb{C}$ puede tener menos de $n$ elementos, pero no más. La hipótesis de irreductibilidad está ahí para descartar cosas como ésta.

Espero que esto arroje algo de luz a su pregunta.