Entender una relación de congruencia en $\mathbb{Z}[\omega]$

Question

Estoy teniendo algunas dificultades para entender la relación entre dos congruencias diferentes que he estado tratando. Provienen del ejercicio 25 del capítulo 3 de la teoría de los números de Ireland y Rosen.

Dejemos que $\lambda=1-\omega\in\mathbb{Z}[\omega]$ , donde $\omega$ es la raíz cúbica de la unidad. Si $\alpha\equiv 1\pmod{\lambda}$ entonces $\alpha^3\equiv 1\pmod{9}$ .

Un poco de álgebra muestra que $3=-\omega^2\lambda^2$ . Si $9|\alpha^3-1$ Entonces quiero demostrar que $\omega^4\lambda^4=\omega\lambda^4|\alpha^3-1$ . Factorizando, veo $\alpha^3-1=(\alpha-1)(\alpha-\omega)(\alpha-\omega^2)$ . Ahora se da $\lambda|\alpha-1$ también, $$ \alpha-\omega\equiv 1-\omega\equiv 0\pmod{\lambda}, $$ y $$ \alpha-\omega^2\equiv 1-\omega^2=(1-\omega)(1+\omega)\equiv 0\pmod{\lambda}. $$ De esto veo $\lambda^3|\alpha^3-1$ . Pero ¿cómo puedo demostrar que hay un cuarto factor $\lambda$ y una de $\omega$ ? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Una forma útil de resolver este tipo de problemas es la siguiente:

Escriba $\alpha = 1 + x \lambda,$ para algunos $x \in \mathbb Z[\omega]$ . (Esto es posible por la suposición de que $\alpha \equiv 1 \bmod \lambda$ .) Si se cubren ambos lados se obtiene $$\alpha^3 = 1 + 3 x \lambda + 3 x^2 \lambda^2 + x^3 \lambda^3 = 1 +(- \omega^2 x + x^3)\lambda^3 - \omega^2 x^2 \lambda^4$$ (la última igualdad se desprende de $3 = - \omega^2 \lambda^2$ ). La cuestión es que he escrito $\alpha^3$ como una suma de múltiplos de potencias crecientes de $\lambda$ .

Lo que quiere demostrar es que $\alpha^3 \equiv 1 \bmod 9$ o, por el contrario $\alpha^3 \equiv 1 \bmod \lambda^4$ y así, mirando la expresión anterior, vemos que esto es lo mismo que demostrar $-\omega^2 x + x^3 \equiv 0 \bmod \lambda,$ para todo $x$ (porque cualquier elección de $x$ en la fórmula original de $\alpha$ permite elegir entre $\alpha$ que es $1 \bmod \lambda$ ). Dado que $\omega \equiv 1 \bmod \lambda,$ vemos que la congruencia que tenemos que demostrar se puede simplificar a $$x^3 - x \equiv 0 \bmod \lambda$$ para todos $x \in \mathbb Z[\omega]$ .

¿Por qué es esto cierto? Porque $Z[\omega]/ \lambda Z[\omega]$ es un campo de orden $3$ (es decir, una copia de $\mathbb F_3$ ), y en ese campo cada elemento es su propio $3$ rd poder. (En general en un campo de orden $p$ Siempre tenemos $x^p = x$ .) Así que hemos terminado.

Lo bueno de este enfoque (ampliando en potencias de $\lambda$ ) es que puedes seguir tu nariz en la demostración: conviertes la congruencia que tienes que demostrar en una congruencia más simple. (Nuestra primera congruencia era algo sutil sobre $\alpha$ que son $1 \bmod \lambda$ pero lo convertimos en una congruencia que debía ser cierta para todo $x$ y si se mantiene una congruencia para todo $x$ normalmente tendrá que aguantar por alguna razón bastante obvia).

Una última observación: en las congruencias que implican potencias, el teorema del binomio es muy a menudo útil (como lo fue aquí).

Answer 2

[Editado: reescrito ya que la versión original tenía errores] La cuestión es (como debe ser) que en su factorización de $\alpha^3-1$ uno de los factores es divisible por $\lambda^2$ . Resulta que exactamente uno de ellos es divisible por $\lambda^2$ .

Dejemos que $\mathfrak{P}$ sea el ideal de $\mathbf{Z}[\omega]$ generado por $\lambda$ . Su identidad $3=-\omega^2\lambda^2$ muestra que $3\in\mathfrak{P}^2$ y como $-\omega^2$ es una unidad, muestra que $\mathfrak{P}^2=3\mathbf{Z}[\omega]$ . Por lo tanto, todos los cosets de $\mathfrak{P}^2$ tienen un único representante de la forma $a+b\omega$ con $a,b\in\{0,1,-1\}$ . Como $$a+b\omega=a+b(1-\lambda)=(a+b)-b\lambda,$$ vemos que porque $\alpha\equiv 1\pmod{\lambda}$ entonces $\alpha$ estará en un coset $a+b\omega+\mathfrak{P}^2$ tal que $a+b\equiv1 \pmod 3$ . Así que $\alpha$ estará en el coset $1+\mathfrak{P}^2$ (correspondiente a $a=1,b=0$ ), o en el coset $\omega+\mathfrak{P}^2$ (correspondiente a $a=0,b=1$ ) o en el coset $-1-\omega+\mathfrak{P}^2$ (correspondiente a $a=b=-1$ ). Pero $1+\omega+\omega^2=0$ por lo que el último coset es $-1-\omega+\mathfrak{P}^2=\omega^2+\mathfrak{P}^2$ .

Dependiendo de cuál de estos cosets modulo $\mathfrak{P}^2$ su elemento $\alpha$ cae en, ves que o bien $\alpha-1$ , $\alpha-\omega$ o $\alpha-\omega^2$ será divisible por $\lambda^2$ .

Answer 3

La inferencia se verifica fácilmente con unos minutos de aritmética de congruencia de memoria mod $3$ & $9$ , a saber.

$\rm\ \lambda^2 =\: 3\:\lambda -3\:\ \Rightarrow\:\ \alpha^3-1\: =\: (1+x\:\lambda)^3-1\:\equiv\: \:3\:\color{Brown}{(x-x^3)\:\lambda}\:\equiv\: 0 \pmod{9}\:,\:$ por $\rm\ x = m + n\:\lambda$

$\rm\: \Rightarrow\ \color{brown}{(x - x^3)\:\lambda} \equiv (m-m^3)\:\lambda\equiv 0 \pmod{3}\ $ a través de $\rm\ \lambda^2 \equiv 0,\ m^3\equiv m\pmod{3}\:,\ \forall\ m\in \mathbb Z\:.$