Demostrando que $H$ es normal

Question

Esta pregunta me ha estado molestando durante un tiempo. Supongamos que $H$ es un subgrupo de $G$ tal que $Ha\not=Hb$ implica que $aH\not =bH$ . Necesito demostrar que $gHg^{-1}\subset H$ (no me refiero a un subconjunto propio, sólo a un subconjunto)

Ahora, toma $x\in gHg^{-1}$ . Supongamos que no está en $H$ . Entonces $x=ghg^{-1}$ para algunos $h$ . Como $x\not \in H$ , $Hx\not=H$ lo que implica $xH\not=H$ pero esto no parece ser una aplicación terriblemente brillante de la condición dada.(Podría haberlo conseguido usando $x\not \in H$ ) ¿Puede alguien darme una pista sobre la solución?

Answer 1

Si $a$ y $b$ no están en el mismo coset derecho, entonces no pueden estar en el mismo coset izquierdo. Esto significa que los únicos elementos del coset izquierdo $aH$ son los que están en el coset de la derecha $Ha$ .