Área de intersección de desigualdades polinomiales.

Question

Fijar un punto de $(p_1, p_2) \in (0,1)^2$ y deje $\epsilon \in (0,1)$.

Considere ahora el siguiente pasaje

\begin{equation} \mathcal{D} = \{(x,y)\ :\ (x,y) \in (0,1)^2,\ n_1 x^i + n_2 y^i - (n_1 p_1^i + n_2 p_2^i) \leq \epsilon, \ \text{for all }i \in \mathbb{N}\} \end{equation}

Pregunta 1

Me gustaría encontrar el área de $\mathcal{D}$ como una función de la $n_1, n_2, p_1, p_2, \epsilon$.

Pregunta 2

Vamos \begin{equation} \mathcal{D}^* = \{(x,y)\ :\ (x,y) \in (0,1)^2,\ n_1 x^{2^i} + n_2 y^{2^i} - (n_1 p_1^{2^i} + n_2 p_2^{2^i}) \leq \epsilon, \ \text{for all } i \in \mathbb{N}\} \end{equation} Dado que las restricciones de cambio más lento de los valores más altos de $i$, $\mathcal{D}^*$ parece ser una buena aproximación de $\mathcal{D}$. Obviamente $\mathcal{D} \subset \mathcal{D^*}$. Hay una manera de acotar la diferencia \begin{equation} \mathrm{Area}(\mathcal{D}^*) - \mathrm{Area}(\mathcal{D})\ ? \end{equation}

Por ejemplo supongamos $n_1 = 100,\ n_2 = 95,\ p_1 = 0.8,\ p_2 = 0.86,\ \epsilon = 0.6$.

En el siguiente gráco podemos ver el primer $20$ restricciones.

Esta es la región de $\mathcal{D}$.

Estos son los límites de $\mathcal{D^*}$ para el ejemplo anterior.

Y esto es $\mathcal{D^*}$.

Answer 1

Me gustaría esbozar una finito finito (I, mientras que, por ejemplo, no son necesariamente agradable soluciones, tal vez, requiere de puntos de intersección, se puede encontrar con el método de newton, por ejemplo) pasos para responder a la pregunta 1.

En primer lugar definir el límite.

$n_1x^i+n_2y^i-(n_1p_1^i+n_2p_2^i)=\epsilon$

Resolver para $y$.

$y=\left( \frac{\epsilon +n_1p_1^i+n_2p_2^i-n_1x^i}{n_2} \right)^{\frac{1}{i}}$

Ahora la intersección de $i$th y $i+1$th curva que nos conecte $y$ por encima de la $i+1$ ecuación.

$n_1x^{i+1}+n_2\left( \frac{\epsilon +n_1p_1^i+n_2p_2^i-n_1x^i}{n_2} \right)^{\frac{i+1}{i}}-(n_1p_1^{i+1}+n_2p_2^{i+1})=\epsilon$

Ahora usando la hipótesis, de que en algún punto de la intersección estará más allá de la región y no el efecto de la zona. Sustituto $x=0$.

$n_2\left( \frac{\epsilon +n_1p_1^i+n_2p_2^i}{n_2} \right)^{\frac{i+1}{i}}-(n_1p_1^{i+1}+n_2p_2^{i+1})=\epsilon$

Esta ecuación se resolverá dando una función de $I(n_1,n_2,p_1,p_2)=i_{\Bbb R}$ que da el exponente produciendo en las intersecciones de la frontera. Todos los $i\in \Bbb N \le i_{\Bbb R}$ debe ser integrada.

El área es entonces

$\sum_{i=2}^{i\lt i_{\Bbb R}}\int_{a_i}^{b_i}\left(\frac{\epsilon+n_1p_1^i+n_2p_2^i-n_1x^i}{n_2}\right)^{\frac{1}{i}}dx$

Donde $a_i,b_i$ son dos correspondientes puntos de intersección de la $i$th y $i+1$th y la curva de la $i+1$th y $i+2$th curva. La mayoría de sección interior y exterior dos secciones pueden ser manejados de una manera ligeramente manera ad hoc en comparación con el anterior.