dada una altitud y un ángulo de visión, ¿cómo puedo determinar la distancia del área de visualización?

Question

¿Cuál es la fórmula para resolver este problema.

Decir que tengo una torre de 100 km de altura y quiero para determinar la distancia desde la base de la torre donde se conecta un cable a tierra. El cable forma un $30^\circ$ ángulo con la torre y se inicia en la parte superior de la torre. No sabemos la longitud del cable.

Esto no es un simple ángulo recto problema debido a que la altitud es lo suficientemente grande que el radio de la tierra deben tenerse en cuenta.

Todo lo que realmente sabemos es la parte superior de la torre es de 100 km de altura, el ángulo entre el cable y la torre de es $30^\circ$, y el radio de la tierra es 6371km (supongamos un círculo perfecto).

Answer 1

Aquí la situación es la que parece ser descrita.

$\hspace{1cm}$

La Ley de los Senos dice que $$ \sin(\phi)=\frac{r+h}{r}\sin(\theta)\etiqueta{1} $$ Los dos valores de $\phi$ especificado en $(1)$ corresponden a los dos puntos de intersección de la línea con el círculo. El de la foto de arriba es $$ \phi=\pi\arcsin\left(\frac{r+h}{r}\sin(\theta)\right)\etiqueta{2} $$ El arclength de la base de la torre hasta el punto de tierra del cable es $$ \begin{align} r(\pi-\theta-\phi) &=r\left(\arcsin\left(\frac{r+h}{r}\sin(\theta)\right)-\theta\right)\\ &=6371\left(\arcsin\left(\frac{6371+100}{6371}\frac12\right)-\frac\pi6\right)\\ &=57.89\text{ km}\tag{3} \end{align} $$ donde los ángulos en $(3)$ está dado en radianes.

Sólo como punto de comparación, la respuesta sin tener en cuenta la curvatura de la tierra sería $$ \begin{align} h\tan(\theta) &=100\frac1{\sqrt{3}}\\ &=57.74\text{ km}\tag{4} \end{align} $$

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La lleva hasta el Límite

La fórmula en la $(3)$ se convierte en la fórmula en la $(4)$ al $r\to\infty$: $$ \begin{align} \lim_{r\to\infty}r\left(\arcsin\left(\frac{r+h}{r}\sin(\theta)\right)-\theta\right) &=h\lim_{r\to\infty}\frac{\arcsin\left(\left(1+\frac hr\right)\sin(\theta)\right)-\theta}{\frac hr}\\ &=h\lim_{t\to0}\frac{\arcsin((1+t)\sin(\theta))-\theta}{t}\\ &=h\lim_{t\to0}\frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-(1+t)^2\sin^2(\theta)}}\\ &=h\tan(\theta) \end{align} $$

Answer 2

Deje $R$ ser el radio de la Tierra, y $h$ la altura de la torre. Deje $A$ ser el punto de fijación del cable, $B$ la parte superior de la torre, y $C$ el centro de la Tierra.

Si $\theta=\angle CAB$, por el Seno de la Ley $$\frac{\sin\theta}{R+h}=\frac{\sin 30^\circ}{R}=\frac{1}{2R}.$$ De ello se sigue que $$\sin\theta=\frac{1}{2}+\frac{h}{2R}.$$ Con su valor de $R$, e $h=100$, la calculadora da $\theta\approx 149.4794$ grados.

Ahora podemos calcular el ángulo en el $C$ (sobre $0.520596$ grados), y por lo tanto la distancia, a lo largo de la superficie de la Tierra, desde la parte inferior de la torre al punto de unión.

Answer 3

Dibujar un triángulo desde el centro de la tierra (A) a la parte superior de la torre (B) a un punto en el borde de la visibilidad (C). Estamos dado que el $\angle B=30^\circ$. Deje $R$ ser el radio de la tierra. La inclinación de la gama, $BC$ puede ser encontrado a partir de la ley del coseno: $AC^2=R^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos 30^\circ =(R+100)^2+BC^2-2BC(R+100)\frac {\sqrt 3}2$

donde sería bueno para cancelar la $R^2$ términos antes de utilizar su calculadora para evitar la pérdida de precisión. Después de haber encontrado a $BC$ usted puede encontrar el ángulo en el centro de la tierra, entonces el arco en la superficie de la tierra, si esa es la manera que usted quiere expresar. Incluso a los 100 km, sospecho que el radio de la tierra no va a cambiar la respuesta mucho.