Desigualdad en la asunción de expectativas

Question

Hay tres funciones convexamente decrecientes $f, g, h:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ y $f(x)h(x)<1$ para $\forall x$ . Necesito probar que

$E[f(x)^2]E[g(x)h(x)]<E[f(x)g(x)]\left(1+E\left[f(x)h(x)\right]\right)$

para una distribución de probabilidad arbitraria.

Answer 1

El resultado es cierto de forma más general sin convexidad.

Dato 1: Si $r(X)$ y $q(X)$ son funciones no decrecientes de una variable aleatoria $X$ entonces su covarianza es no negativa. Ver enlace aquí para este hecho: covarianza de funciones crecientes

Hecho 2: Si $m(X)$ y $n(X)$ son funciones no crecientes de una variable aleatoria $X$ entonces su covarianza también es no negativa, ya que:

$$ E[m(X)n(X)] = E[(-m(X))(-n(X))] \geq E[-m(X)]E[-n(X)] = E[m(X)]E[n(X)] $$

donde la desigualdad se deduce del hecho 1 junto con la observación de que $-m(X)$ y $-n(X)$ son no decrecientes.

Podemos aplicar el hecho 2 a su problema: Las funciones $f(X)^2$ y $g(X)h(X)$ son ambas no crecientes en $X$ y por lo tanto por el Hecho 2:

$$ E[f(X)^2]E[g(X)h(X)] \leq E[f(X)^2g(X)h(X)] \leq E[f(X)g(X)] $$

donde la desigualdad final utiliza el hecho de que $f(X)h(X)\leq 1$ para todos $X$ . El término final es menor que si añadimos el valor positivo $E[f(X)g(X)]E[f(X)h(X)]$ .

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Tu pregunta anterior muestra que el resultado no es cierto si eliminamos la condición $f(X)h(X)\leq 1$ . Ese enlace es:

desigualdad que implica tomar la expectativa