Demostración de la propiedad transitiva

Question

He estado trabajando en este problema a partir del libro How to prove de Velleman:

Supongamos que A es un conjunto y F P (A). Sea R = {(a, b) A × A | para cada X A \ {a, b}, si X {a} F entonces X {b} F}. Demuestre que R es transitiva.

Ahora, he estado resolviendo la prueba así:

Dejemos que $a, b, c$ sean elementos arbitrarios de A tales que $(a,b) \in R$ y $(b,c) \in R$ . Supongamos que $F \subseteq P(A)$ . Sea $X$ sea un conjunto arbitrario. Supongamos que $X \subseteq A \setminus \{a,c\}$ y $X \cup \{a\} \in F$ tenemos que demostrar que $X \cup \{c\} \in F$ . Desde $X \subseteq A \setminus \{a,c\}$ se deduce que $a,c \notin X$ . Podemos considerar dos casos:

1) $b \notin X$ . Esto es sencillo de demostrar.

2) $b \in X$

Ahora la segunda parte me confunde. ¿Cómo proceder con la segunda parte?

Answer 1

Francamente, su prueba me confunde. Para demostrar que R es transitiva, tienes que mostrar si $(a,b) \in R$ y $(b,c)\in R$ entonces $(a,c)\in R$ . Considere lo que significa para $(a,b),(b,c)\in R$ . Si $(a,b) \in R$ , entonces para cada $X\subseteq$ $A\backslash{\{a,b\}}$ entonces $A\cup{\{a\}}$ $\in F\subset P(A)$ $\rightarrow$ $A\cup {\{b\}}\in F\subset P(A)$ . Del mismo modo, si $(b,c) \in R$ , entonces para cada $Y\subseteq$ $A\backslash {\{b,c\}}$ entonces $A\cup {\{b\}}\in F$ $\subset P(A)$ $\rightarrow$ $A\cup {\{c\}}\in F\subset P(A)$ . Por lo tanto, considerando $X \cup Y$ $\subseteq$ $A\backslash{\{a,b\}}$ $\cup$ $A\backslash{\{b,c\}}$ = $A\backslash {\{a},{b},{c}\}$ . Esto implica $A\cup{\{a\}}$ $\in F\subset P(A)$ $\rightarrow$ $A\cup {\{b\}}\in F\subset P(A)$ $\rightarrow A\cup {\{c\}}\in F$ $\subset$ P(A).Pero eso significa $(a,c)\in R$ y por lo tanto R es transitivo. Q.E.D.

Comentario: Esto me parece bien, pero no estoy 100% convencido, francamente. Voy a revisarlo un par de veces más. Siéntase libre de comentar. Hay algo que no me parece bien, pero no puedo ver lo que es.

Answer 2

Una pista: Considere $Y=X\backslash{\{b\}}$ .

Answer 3

La definición de $R$ se puede reformular ligeramente. Dejemos que $$R = \big\{(a,b)\in A\times A \big|\forall X\in F, a\in X \implies(X\backslash\{a\})\cup\{b\}\in F\big\}$$ Demuestre que esto es equivalente a su definición original de $R$ .