Determinante de un cuadrado mágico estándar

Question

• ¿Cuál es el menor valor positivo y cuál el mayor valor posible para el determinante de una matriz cuadrada mágica estándar de orden $n$ ?
• ¿Existen matrices estándar-cuadrado-mágicas singulares de cualquier orden mayor que $3$ ?

En primer lugar, el determinante de una matriz cuadrada mágica estándar debe ser múltiplo de $\frac{n^2(n^2+1)}{2}$ para impar $n$ . Esto se consigue fácilmente mediante el siguiente proceso:

• Añade todas las columnas hasta la última. A continuación, cada entrada de la última columna es $\frac{n(n^2+1)}{2}$ la constante del cuadrado mágico estándar.

• Ahora extrae esta constante y añade todas las filas a la última. Entonces cada entrada de la última fila es de nuevo la constante, aparte de la última entrada, que es $n$ .

• Desde $n$ es para impar n un divisor de la constante, también se puede extraer. Para $n$ sólo $\frac{n}{2}$ puede extraerse, por lo que el determinante es sólo un múltiplo de $\frac{n^2(n^2+1)}{4}$ . Se obtienen así límites inferiores para el valor absoluto del determinante de las matrices cuadrado-mágicas regulares.

• Por tamaño $3$ el único determinante posible (ignorando el signo) es $360$ .

• Por tamaño $4$ mi mínimo personal para el determinante absoluto distinto de cero es $2176$ y mi máximo es $17408$ .

• Por tamaño $5$ mis mejores resultados son $325$ y $6\ 547\ 775$ .

• Por tallas $4$ y $5$ también encontré matrices con determinante $0$ pero para $n = 6$ No encontré ninguno. OEIS afirma que el cuadrado mágico de orden $6$ producido por Matlab tiene determinante $0$ (Por cierto, la secuencia parece contener un error tipográfico porque en la lista $-360$ aparece para $n=2$ en lugar de $n=3$ ).

Mi programa pascal generador de cuadrados mágicos aleatorios no encontró un cuadrado mágico con orden $6$ y determinante $0$ . Como no tengo Matlab, no puedo verificar el cuadrado mágico que produce.

Answer 1

Esto puede proporcionar un poco más de comprensión a su pregunta. Demuestra que si tienes una matriz de n por n y n es par, puedes producir matrices singulares que, por definición, tienen todas un determinante 0.

He aquí un artículo que quizá le interese, publicado en la revista de la Asociación Matemática de América (Amer. Math. Monthly, nov. 2000):

Incluso los cuadrados mágicos de orden regular son singulares, R. Bruce Mattingly

Cleve Moler ha señalado (sin pruebas) que los cuadrados mágicos generados por MATLAB tienen la propiedad de que los cuadrados de orden impar son matrices no singulares, mientras que los cuadrados de orden par son todos singulares.