derivado de #%-th $n$% #%

Question

Encontrar una fórmula general para derivado de #%-th $n$% #%.
Para comenzar con encontré par de derrivatives:
\begin{align} y' &={1 \over x}f'(\ln x) \ y'' &={1 \over x^2}(f''(\ln x)-f'(\ln x)) \ y''' &={1 \over x^3}(f'''(\ln x)-3f''(\ln x)+2f'(\ln x)) \ y'''' &={1 \over x^4}(f''''(\ln x)-6f'''(\ln x)+11f''(\ln x)-6f'(\ln x)) \end {Alinee el} pensó que sería fácil de notar un cierto patrón y demostrar por inducción. Pero no puedo observar nada útil.
Tal vez hay algo así como $y = f(\ln x)$ en general fórmula, si existe.
Necesito un Consejo sabio.

Answer 1

Puede encontrar útiles con $g(x)= \ln (x)$ fórmula de Faà di Bruno . Desde

%#% $ de #% obtenemos

$$g^{(j)}(x)=(-1)^{j+1}\frac{(j-1)!}{x^j} $$

donde la suma se toma sobre la restricción

$$ {d^n \over dx^n} f(\ln x)=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots+mn)}(\ln x)\cdot \prod{j=1}^n\left((-1)^{j+1}\frac{(j-1)!}{x^j}\right)^{m_j}$$

Answer 2

De la observación.

Tenemos $$y^{(n)} = \frac{1}{x^n} \sum_{i=1}^n a_{(n,i)} f^{(i)}(\ln x)$$ Donde $a_{(n,i)}$ es el coeficiente de $x^{i-1}$ en $$\prod_{k=1}^{n-1} (x-k)$$

Voy a saltarme la base desde que es dada en el problema.

Supongamos que esto es cierto para $n=k \ge 4$. Voy a probarlo para $n=k+1$.

A partir de la hipótesis de inducción, tenemos $$y^{(k)} = \frac{1}{x^k} \sum_{i=1}^k a_{(k,i)} f^{(i)}(\ln x)$$

Diferenciar el uso de $(uv)'=u'v+uv'$, tenemos $$y^{(k+1)} = -\frac{k}{x^{k+1}} \sum_{i=1}^k a_{(k,i)} f^{(i)}(\ln x) + \frac{1}{x^k} \sum_{i=1}^k a_{(k,i)} f^{(i+1)}(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$$

Ahora reordenando, tenemos $$y^{(k+1)} = \frac{1}{x^{k+1}} \sum_{i=1}^{k+1} (-ka_{(k,i)}+a_{(k,i-1)})f^{(i)}(\ln x)$$

Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $$-ka_{(k,i)}+a_{(k,i-1)} = a_{(k+1,i)}$$

Sin embargo, esto es algo trivial tras una inspección más cercana, ya que $$(\cdots + a_{(k+1,i)}x^{i-1} + \cdots) = \prod_{j=1}^k (x-j) = \prod_{j=1}^{k-1} (x-j) \cdot (x-k)= (\cdots + a_{(k,i)}x^{i-1} + a_{(k,i-1)}x^{i-2} + \cdots )(x-k) = (\cdots -ka_{(k,i)}x^{i-1}+a_{(k,i-1)}x^{i-1} + \cdots)$$

Hemos terminado. $\blacksquare$

La motivación? Me miró a los coeficientes y el polinomio acaba de venir a mí.