Sustitución en la determinación del límite de los polinomios

Question

En mi libro de cálculo se ha escrito: "Para encontrar los límites a veces podemos cambiar $$\sqrt[m]{a_m x^m + a_{m - 1} x^{m-1} + a_{m - 2} x^{m-2} + \cdots + a_0} $$ a $\sqrt[m]{a_m}\left(x + \dfrac{a_{m - 1}}{ma_m}\right)$ para impar $m$ y $\sqrt[m]{a_m}\left|x + \dfrac{a_{m - 1}}{ma_m}\right|$ para incluso $m$ ."

En primer lugar, quiero saber cómo se construyeron estas fórmulas. Después de eso, cuando puedo usarlas sin ningún error en el valor del límite. He buscado en internet pero no he encontrado estas fórmulas.

Answer 1

Le aconsejo encarecidamente que no añada esos trucos baratos a su bolsa de herramientas. Es muy desafortunado (para los estudiantes) que la mayoría de los libros de texto de introducción al cálculo tiendan a proporcionar este tipo de cosas sin ninguna justificación. Tuve muchos problemas con esos libros en la India cuando estudiaba cálculo (y supongo que tu libro también es de un autor indio). Casi siempre esos trucos no proporcionan todo el contexto y la formulación rigurosa exacta (y la prueba).

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A continuación expondré las fórmulas deseadas junto con las pruebas. En lo que sigue $n$ es un número entero positivo.

Dejemos que $P(x)$ sea un polinomio de grado $n$ y asumir que $n$ es impar. También deja que $a, b$ sean los coeficientes de $x^{n}$ y $x^{n - 1}$ en $P(x)$ respectivamente. Por lo tanto, tenemos $$P(x) = ax^{n} + bx^{n - 1} + Q(x)\tag{1}$$ donde $Q(x)$ es un polinomio de grado inferior a $n - 1$ . Entonces tenemos la siguiente fórmula límite: $$\lim_{x \to \infty}\sqrt[n]{P(x)} - a^{1/n}x = \frac{b}{n}a^{1/n - 1}\tag{2}$$ La prueba se puede dar poniendo $t = 1/x$ para que $t \to 0^{+}$ como $x \to \infty$ y por tanto el límite deseado viene dado por $$\lim_{t \to 0^{+}}\frac{\sqrt[n]{a + bt + t^{n}Q(1/t)} - a^{1/n}}{t}$$ Ahora podemos observar que $t^{n}Q(1/t)$ es un polinomio de grado $n$ o menos que tenga $t^{2}$ como factor. Así que podemos escribir $t^{n}Q(1/t) = t^{2}R(t)$ para algún polinomio $R(t)$ de grado inferior a $n - 1$ . A continuación ponemos $u = a + bt + t^{2}R(t)$ para que $u \to a$ como $t \to 0^{+}$ . Ahora podemos ver que $(u - a)/t \to b$ y así el límite deseado se reduce a $$\lim_{u \to a}\frac{u^{1/n} - a^{1/n}}{u - a}\cdot\frac{u - a}{t}$$ y esto es claramente igual a $b\cdot(1/n)a^{1/n - 1}$ como se esperaba. Aquí hemos utilizado la fórmula límite estándar $$\lim_{x \to a}\frac{x^{r} - a^{r}}{x - a} = ra^{r - 1}\tag{3}$$ que es válido para todos los valores de $r$ y es esta fórmula límite estándar la que debes poner en tu bolsa de herramientas.

Algunas personas tratan de pensar en la ecuación $(2)$ como significado $$\sqrt[n]{P(x)} - a^{1/n}x \approx \frac{b}{n}a^{1/n - 1}$$ o $$\sqrt[n]{P(x)} \approx a^{1/n}\left(x + \frac{b}{na}\right)\tag{4}$$ Todo esto está bien hasta este punto, pero se comete un error garrafal cuando decimos que podemos sustituir el LHS de $(4)$ por RHS de $(4)$ mientras se evalúan ciertos límites. Recuerde que en las matemáticas pueden reemplazar una cosa $A$ por otra cosa $B$ sólo cuando $A = B$ y no de otra manera . La ecuación $(4)$ no describe una igualdad entre dos cosas, sino que dice que una cosa es una aproximación de otra bajo ciertas circunstancias. Sin embargo, es perfectamente válido sustituir el LHS de $(2)$ es decir $\lim_{x \to \infty}\sqrt[n]{P(x)} - a^{1/n}x$ por RHS de $(2)$ es decir $(b/n)a^{1/n - 1}$ porque son iguales a través de la ecuación $(2)$ .

Debe intentar formular y probar la afirmación para el caso cuando $n$ es un número entero positivo par. En este caso, el coeficiente principal de $P(x)$ debe ser positivo.