Los malentendidos del teorema fundamental del cálculo?

Question

Una parte del teorema fundamental del cálculo es que $$F(x)=\int_a^x f(t)\;dt\tag1$$ Sin embargo, $$\int_a^b f(t)\;dt=F(b)-F(a)\tag2$$ Así que mi primera pregunta es ¿por qué no la ecuación 1 tomar la forma de $\int_a^x f(t)\;dt=F(x)-F(a)$? De dónde sacaste $F(a)$ a desaparecer?

También, cada vez que vea un integral en la forma de $F(x)=\int_x^a f(t)\;dt$, ¿por qué es que siempre hay que cambiarlo a $F(x)=-\int_a^x f(t)\;dt$? Es decir, ¿por qué es necesario para $x$ a ser el límite superior y no a la baja? Sé que está escrito en el teorema fundamental del cálculo como el límite superior, pero ¿por qué?

Answer 1

Usted en realidad no ha declarado el teorema. Aquí es donde se precisa es importante.

La primera parte dice:

Si $f$ es continua en a$[a,b]$, entonces la función DEFINIDA por:

$$F(x)\colon = \int_a^x f(t) dt$$

para $x\in [a,b]$

es diferenciable en a$(a,b)$$F'(x)=f(x)$.

La segunda parte dice:

Si $F(x)$ es diferenciable en a $(a,b)$ con derivados $f(x)$ $f(x)$ es continua en a$[a,b]$, entonces:

$$\int_a^b f(t) dt = F(b)-F(a)$$

Sólo indicando los teoremas, precisamente, le ayudará a aclarar las ideas erróneas.

Answer 2

Parece que la dificultad subyacente es que, debido a la coincidencia de algunos los símbolos utilizados en las dos partes de el Teorema Fundamental del Cálculo en su libro de texto, que se vincula cosas que no son en realidad destinados a ser vinculados en ese camino.

La explicación de la FTC en el MathWorld sitio aun no tienes dos "partes", sino que presenta a separar los dos teoremas. La "primera" teorema dice:

Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ $F$ es la integral indefinida de $f$ $[a,b],$ $$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

El "segundo" teorema (de acuerdo a MathWorld) dice (parafraseando un poco) que

Si $f$ es una función continua en un intervalo abierto $I$ $a$ es cualquier punto en $I$, y si $F$ está definido por $$F(x)=\int_a^xf(t)\,dt, $$ entonces $F'(x)=f(x) $ en cada punto de I.

Usted no ha citado de su libro de texto pie de la letra, pero a partir de la secuencia de fórmulas en tu pregunta parece que MathWorld del "segundo" es el teorema de la primera "parte" de su libro del teorema, y viceversa. Todo esto está bien, porque los dos teoremas (o dos partes de "el" teorema) son lógicamente independientes el uno del otro-ni uno asume que el otro como parte de su declaración.

En particular, todos los nombres de funciones y variables en cualquier parte de "el" teorema están ligados únicamente a las funciones y variables con los mismos nombres en la misma parte de "el" teorema. Podríamos escribir:

Si $g$ es continua en el intervalo cerrado $[c,d]$ $G$ es la integral indefinida de $g$ $[c,d],$ $$\int_c^d g(x)\,dx=G(d)-G(c).$$

dejando todas las letras $f$, $I$, $a$, $F$, $x$, y $t$ sin cambios en la otra parte de "el" teorema. Usted no tiene que asumir las dos partes están hablando de la misma funciones y números.

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Para decirlo de otra manera, las dos partes de "el" FTC están haciendo dos trabajos independientes. Una parte de "la" de la FTC dice cómo calcular las integrales definidas de una función, si por casualidad usted conoce una integral indefinida (antiderivada) de la misma función. La otra parte se crea una antiderivada de una función de un particular de la integral definida de la misma función.

Answer 3

No hay ninguna incoherencia, porque $F(a)=0$ $F$ se define en la ecuación (1).

En el hecho de que (1) implica (2) si o no $F$ (construido como una integral) es una antiderivada de $f(x)$. Esta es la propiedad $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ y se mantiene en los casos donde $f$ no es continua en todas partes y $\int_a^x f$ no es diferenciable en todas partes.

Answer 4

Para responder a sus preguntas en orden:

1) que no escribo $\int_a^x f(t)\,dt = F(x) - F(a)$ porque $F(x)$ ya lo incluye. Como otras personas lo han señalado, que aquí cuando escribimos $F$ nos referimos a cualquier antiderivada de $f$. El valor de $F(a)$ es constante, por lo que si se sustraen la derivada seguirá siendo el mismo.

2) Matemáticamente, no hay ninguna razón que usted tiene que hacerlo de esa manera. Usted puede escribir el teorema de como esta:

$$ -F(x) = \int_x^a f(t)\,dt $$

Nosotros no porque se introduce el signo negativo, y nos resulta más sencillo de la otra manera. Así que usted podría preguntar: ¿por qué poner a $x$ sobre la parte inferior de crear un signo negativo?

Yo diría que te gusta esto: piensa en el valor de la derecha como el área bajo la gráfica de $f(t)$ en el intervalo de $[x, a]$. Estamos tomando la derivada, por lo que nos preguntamos: ¿cuál es la tasa de cambio de la zona como $x$ aumenta?

Answer 5

Si me pueden comenzar desde avid19 la formulación más precisa del teorema:

Si $f$ es continua en a$[a,b]$, entonces la función DEFINIDA por:

$$F(x)\colon = \int_a^x f(t) dt$$

para $x\in [a,b]$

es diferenciable en a$(a,b)$$F'(x)=f(x)$.

Lo que esto hace es definir el significado del signo integral. Lo hace por medio de una 'f' para la función y 'F' para la integral de dicha función. Sin embargo, la última línea es la parte más importante. Se establece que la derivada de F es igual a f. Si me smoosh las funciones en conjunto, el teorema de los estados: $$ \frac{d}{dx}_{x=y}(F(x)) = f(y)$$ $$ \frac{d}{dx}_{x=y}\left(\int_a^x f(t) dt\right) = f(y)$$

Tenga en cuenta que he añadido una variable adicional para mayor claridad. Desde la x tenido múltiples significados, he cambiado a cabo de manera que 'x' es ahora sólo el libre variable que se utiliza en la derivada y la integral, mientras que y es el valor que la evaluación de las funciones.

Ahora es fácil mostrar que hay un número infinito de funciones que tienen todas la misma derivados (sólo tiene que añadir una constante, y se obtiene una función paralela con la misma derivados). Esta primera mitad del teorema de ofertas con el caso especial en el que usted está tomando la derivada con respecto al límite superior de la integral. En este caso, no importa cuál de esas curvas que usted use, porque todos ellos tienen la misma derivada. Sin embargo, en la segunda mitad de la ecuación, estamos interesados en el caso en que tanto los límites superior e inferior son números fijos:

$$\int_a^b f(t) dt = F(b)-F(a)$$

En este caso, mediante la definición de la integral de esta manera, realmente no importa que el infinito número de paralelo funciones que usted elija para F, la resta se anulan cualquier constantes haya agregado.

Usted necesita las dos mitades para completar la definición. Si sólo dispone de la primera mitad, significa que sólo se pueden utilizar en las integrales en el caso de que se llega a tomar la derivada de ella. Si sólo tiene la última mitad, muestran cómo operar en las integrales, en el caso general, pero usted no tiene la información suficiente para que realmente definen lo que su valor calculado es en realidad. Coloque las dos mitades, y se puede conseguir algo muy potente.