He leído en un libro que si uno toma $\mu$ como la medida aditiva de Haar en $\mathbb{Q}_p$, los racionales p-ádicos, entonces
$$\nu(A) := \int_{A} 1/|x|_p dx$$
es una medida de Haar multiplicativa en $\mathbb{Q}_p^\times. Mi pregunta es: ¿por qué es esto así? Puedo ver tres cosas:
0) $\nu$ es una medida.
1) $\nu(K) < \infty$ para $K$ compacto en $\mathbb{Q}_p^\times$.
2) $\nu$ es invariante multiplicativo a la izquierda, es decir, $\nu(xA) = \nu(A)$.
lo que queda por mostrarse es que es regular. En el libro que estoy leyendo esto significa que satisface
3) Para cada conjunto medible $A$, $$\nu(A) = \inf_{U \supset A} \nu(U)$$ donde $U$ recorre los conjuntos abiertos que contienen a $A$.
4) Para cada conjunto $A$ que es either open o tiene medida finita, $$\nu(A) = \sup_{K \subset A} \nu(K)$$ donde $K$ recorre los conjuntos compactos contenidos en $A$.
¿Alguien puede decirme cómo se puede hacer eso? Traté de jugar con la convergencia monótona, etc., pero tengo la sensación de que me estoy perdiendo algo simple :(
