Valor de $a$ para que una de las raíces de la ecuación cuadrática es cuadrado de otro

Question

¡Necesito ayuda urgente! Si una de las raíces de la ecuación de $8x^2-6x-a-3=0$ es el cuadrado de la raíz de otros, encontrar el valor de $a$. (Las raíces sea $\alpha$ y $\beta$) La respuesta de un es -4 y 24.

Answer 1

Poner $\beta =\alpha ^{2}$. Factorizar el polinomio $8x^{2}-6x-a-3$

$$8x^{2}-6x-a-3=8(x-\alpha )(x-\beta )=8(x-\alpha )(x-\alpha ^{2}).$$

Ampliar la RHS para obtener

$$8x^{2}-6x-a-3=8x^{2}+\left( -8\alpha ^{2}-8\alpha \right) x+8\alpha ^{3}.$$

Igualar los coeficientes y resolver para $\alpha $$a$.

$$8\alpha ^{3}=-a-3,\qquad (1)$$

$$-8\alpha ^{2}-8\alpha =-6.\qquad (2)$$

Las dos soluciones de $(2)$$\alpha =-3/2,\alpha =1/2$. Para $\alpha =-3/2$, $(1)$ vuelve $8\left( -3/2\right) ^{3}=-a-3$, cuya solución es $a=24$; y para $\alpha =1/2$, $(1)$ vuelve $8\left( 1/2\right) ^{3}=-a-3$, cuya solución es $a=-4$.

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Añadido: Polinomios puede ser factorizado en 1er grado términos de $(x-x_i)$ donde $x_i$'s son las raíces del polinomio. El cofficient del producto de todos los $(x-x_i)$ es el coeficiente de la líder plazo.

Por lo que el polinomio cuadrático $Ax^2+Bx+C$ se factoriza en dos términos. Deje $x_1,x_2$ ser las raíces. Entonces $$Ax^2+Bx+C=A(x-x_1)(x-x_2).\qquad (\ast)$$ Observe that $Ax^2+Bx+C=0$ if and only if $a(x-x_1)(x-x_2)=0$. The coefficient $$ must be in front of $(x-x_1)(x-x_2)$ so that both sides of $(\ast)$ son iguales.

Answer 2

Aquí, pruebe esto:

Las dos raíces de la $8x^2−6x−a−3=0$ se puede encontrar por la fórmula cuadrática:

$x_1=\frac{8-\sqrt{8a+33}}{8}$

$x_2=\frac{8+\sqrt{8a+33}}{8}$

Dado que el problema requiere ser el cuadrado de la otra, esto significa que el más grande de la raíz, $x_2$, se debe a la plaza de la menor, $x_1$. Para hacer eso:

$x_1^2=x_2$

$\left(\frac{8-\sqrt{8a+33}}{8}\right)^2= \frac{8+\sqrt{8a+33}}{8}$

Puede plaza y simplificar? Si es así, a continuación, podrá obtener otra ecuación cuadrática, esta vez con la variable $a$. Resolver usando la fórmula cuadrática. Usted va a obtener las dos soluciones para $a$, como usted afirma. Los pares de raíces de la ecuación original se $\{\frac{1}{2},\frac{1}{4}\}$$\{\frac{-3}{2}, \frac{9}{4}\}$.