Deje $H \subseteq \Bbb R^n$.
Demostrar que $H$ es compacto $\iff$ todas las portadas $\{E_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ donde $E_{\alpha}$'s son relativamente abierta en $H$ tiene un número finito de subcovering.
$\bf{Solution \ trial:}$
Para $\Rightarrow$
Supongamos $H$ es compacto.
Supongamos $\{E_{\alpha}\}$ son relativamente abierto que cubre de $H$. Desde $\{E_{\alpha}\}$ son relativamente abierto que cubre de $H$,
$\exists$ conjunto abierto $U_{\alpha}$ tal que $U_{\alpha} \cap H= E_{\alpha}$
A continuación,$\ U_{\alpha}$ es abrir la cubierta de $H$
Desde $H$ es compacto, $\exists $ subconjunto finito $A_0 \subset A$ tal que $$H\subseteq \bigcup_{\alpha \in A_0} \{U_{\alpha}\}$$
A continuación, $\{E_{\alpha}\}_{\alpha\in A_0} $ es finita subcovering de $\{E_{\alpha}\}_{\alpha\in A} $
Para $\Leftarrow$
Desde $\{E_{\alpha}\}_{\alpha\in A} $ es relativamente abierto subcovering de H,
$$\{E_{\alpha}\cap H\}_{\alpha\in A}$ $ , es relativamente abierto que cubre.
$\exists$ un subconjunto finito $A_0 \subset A$ tal que $\{ V_{\alpha} \cap H\}_{\alpha \in A_0}$ cubre H.
$$\{ V_{\alpha} \}_{\alpha \in A_0}$$ cubre H.
yo.e H es compacto.
Es la prueba suficiente? ¿Existe algún error o desaparecid @ s en el detalle de la solución?
Por favor corregir. Gracias.
