Demuestre que$H$ es compacto$\iff$ cada cubierta$\{E_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ tiene un subcubrimiento finito.

Question

Deje $H \subseteq \Bbb R^n$.

Demostrar que $H$ es compacto $\iff$ todas las portadas $\{E_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ donde $E_{\alpha}$'s son relativamente abierta en $H$ tiene un número finito de subcovering.

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$\bf{Solution \ trial:}$

Para $\Rightarrow$

Supongamos $H$ es compacto.

Supongamos $\{E_{\alpha}\}$ son relativamente abierto que cubre de $H$. Desde $\{E_{\alpha}\}$ son relativamente abierto que cubre de $H$,

$\exists$ conjunto abierto $U_{\alpha}$ tal que $U_{\alpha} \cap H= E_{\alpha}$

A continuación,$\ U_{\alpha}$ es abrir la cubierta de $H$

Desde $H$ es compacto, $\exists$ subconjunto finito $A_0 \subset A$ tal que $$H\subseteq \bigcup_{\alpha \in A_0} \{U_{\alpha}\}$$

A continuación, $\{E_{\alpha}\}_{\alpha\in A_0}$ es finita subcovering de $\{E_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$

Para $\Leftarrow$

Desde $\{E_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ es relativamente abierto subcovering de H,

$$\{E_{\alpha}\cap H\}_{\alpha\in A} , es relativamente abierto que cubre.

$\exists$ un subconjunto finito $A_0 \subset A$ tal que $\{ V_{\alpha} \cap H\}_{\alpha \in A_0}$ cubre H.

$$\{ V_{\alpha} \}_{\alpha \in A_0}$$ cubre H.

yo.e H es compacto.

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Es la prueba suficiente? ¿Existe algún error o desaparecid @ s en el detalle de la solución?

Por favor corregir. Gracias.

Answer 1

Suponiendo que la primera frase de la segunda implicación se entiende '' que ${V_\alpha}$ ser una cubierta de $H$ de subconjuntos abiertos de $\mathbf{R}^n$ ", su argumento es correcto.