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Para todos $n \in \mathbb{N}$ definimos la función $\delta(n)=p$ , donde $p$ es la suma de dígitos de $n^2$ . Por ejemplo, si $n=17, \ n^2=289$ entonces $\delta(17)=2+8+9=19$ .
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Dejemos que $a_k$ es una secuencia monótonamente creciente de todos los números enteros positivos para los que existe al menos un $n(a_k) \in \mathbb{N}$ tal que $\delta(n)=a_k$ . Y definimos que $a_0=0$ .
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Encuentre $a_{20122012}-?$ .
Este es un problema de la competencia matemática de mi escuela, y durante esta competencia encontré respuesta de la siguiente manera: cálculos simples nos dan que $a_1=1, \ a_2=4, \ a_3=7, \ a_4=9, \ a_5=10, \ a_6=13, \ a_7=16, \ a_8=18, ...$ . Entonces me doy cuenta de que $a_4=a_0+9, a_5=a_1+9, a_6=a_2+9 ...$ así que supuse que para esta secuencia $a_{k+4}=a_{k}+9$ . Y esto nos da una solución muy sencilla: si $k=4m+r$ , donde $r:\{0,1,2,3\}$ entonces $a_k=9m+a_r$ . Pero no fui capaz de probar la fórmula principal $a_{k+4}=a_{k}+9$ y perdieron algunos puntos porque dijeron que no es difícil. Pero todavía no puedo encontrar la manera de probarlo. Así que mi
La pregunta es: ¿Existe una forma sencilla y agradable de demostrar que para esta secuencia $a_{k+4}=a_{k}+9$ - ? Supongo que es un problema bien conocido. ¿Pero hay alguna solución elemental?
