Explicación intuitiva de la condición de Lyapunov para CLT

Question

Encontré la condición de Lyapunov para aplicar el teorema del límite central, que es útil en entornos en los que hay que tratar con variables aleatorias distribuidas de forma no idéntica:

Lyapunov CLT. Sea $s_n^2 = \sum_{k=1}^n \text{Var}[Y_i]$ y que $Y=\sum_i Y_i$ . Si existe $\ell>0$ s.t.: $\lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{1}{s_n^{2+\ell}}\sum_{k=1}^n \text{E}\left[ |Y_k - \text{E}[Y_k]|^{2+\ell}\right] \right) = 0$ entonces $Z=(Y - E[Y])/\sqrt{Var[Y]}$ converge a la distribución normal estándar.

Aunque no tengo ningún problema en demostrar que esta condición se cumple para determinados ejercicios, me pregunto cuál es la intuición que hay detrás de esta condición.

Answer 1

Cada CLT es básicamente una representación del hecho de que "muchos" incrementos aleatorios "no demasiado grandes" y "no demasiado correlacionados" promedian en forma de campana. Las tres condiciones ("muchos", "no demasiado grandes" y "no demasiado correlacionados") son importantes. La condición de Lyapunov es una forma de cuantificar la condición de "incrementos no demasiado grandes".

Naturalmente, cada variable aleatoria $Y_k$ pueden ser ilimitadas, de ahí que la condición recaiga sobre sus momentos. Lyapunov demostró que un control promediado sobre algunos $(2+\delta)$ -momento fue suficiente para garantizar la conclusión. "Promedio" es bueno aquí, ya que permite algunos excepcionalmente grande individual $(2+\delta)$ -momentos. Uniforme $(2+\delta)$ -integrabilidad es más restrictiva, y algunas variantes del CLT debilitan esta condición.

El hecho de que se requiera algún tipo de condición de "incrementos no demasiado grandes" no debería sorprender, ya que la idea es que si el tamaño de algún incremento no es despreciable, su realización podría influir notablemente en el resultado.

Answer 2

Esto está relacionado con la condición de Lindeberg, es decir, para cada $\varepsilon$ , $$\frac 1{s_n^2}\sum_{k=1}^n\int_{\{|X_k|\geqslant \varepsilon s_n\}}X_k^2\mathrm d\mathbb P\to 0.$$ Podemos demostrar el teorema central del límite comprobando que $\mathbb E\left[f\left(\frac{S_n}{s_n}\right)\right]\to \mathbb E[f\left(N\right)]$ donde $N\sim N(0,1)$ sólo para una clase $f$ de funciones suaves acotadas. En particular, no necesitamos hacer la prueba para todas las funciones continuas acotadas. Entonces, con esta idea en mente, podemos utilizar la fórmula de Taylor y la condición de Lindeberg para controlar el resto.

Ahora, si estamos en el caso más favorable en el que tenemos momentos de orden $2+\delta$ para algún positivo $\delta$ entonces la condición de Lyapunov $$\frac 1{s_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^n\mathbb E\left[|X_k|^{2+\delta}\right]\to 0$$ implica la de Lindeberg, y es más fácil de comprobar.