Escriba una curva con exactamente un punto racional

Question

Deje $g\geq 1$. Me gustaría escribir (para todos los $g$) un suave proyectiva geométricamente conectado curva de $X$ $\mathbf{Q}$ de género $g$, precisamente, con un punto racional.

Es esto posible?

Para que $g$ es esto posible?

Creo que para $g=1$ esto es posible. Yo no sé explícita de la ecuación, pero debo ser capaz de encontrarlo. (Acabamos de escribir una curva elíptica sin torsión de rango cero en $\mathbf{Q}$.)

Para $g\geq 2$ las cosas se ponen más complicadas para mí.

Me gustaría que la curva de gonality al menos $4$, pero voy a pensar en eso más tarde.

Answer 1

El buen plano proyectivo de la curva de $E$ definido a lo largo del $\mathbb Q$ por la ecuación de $y^2z=x^3+2z^3$ tiene su punto en el infinito $[0:1:0]$ como su único punto racional: $E(\mathbb Q)=\lbrace [0:1:0]\rbrace $. En efecto:

a) La torsión del grupo de la curva de $y^2z=x^3+az^3 $ es igual a cero tan pronto como $a$ es un sexto de energía libre entero que no es ni una plaza, ni un cubo ni igual a $-432$.
(A pesar de appearences no estoy haciendo este loco teorema, pero yo estoy citando teorema (3.3) del Capítulo 1 en Husemöller de Curvas Elípticas !).

b) Por otro lado, la curva de $E$ rango $0$, lo que significa que su grupo de puntos racionales es de torsión (esto se indica en la tabla siguiente el teorema de la que acabo de citar).

Los dos resultados de a) y b) demostrar que la afirmación de que en mi frase introductoria.

Answer 2

Creo que hay una clase de curva que tiene un único punto racional, es una hipérbola dada por (x ^ 2 + A) /(B-x). Las condiciones para dar un punto racional sería que B ^ 2 + A = un número primo, por ejemplo, B = 6 = 5 sería el punto de racional en (5, 30). Las condiciones para 2 puntos racionales sería que B ^ 2 + A = N, donde N = pq, por ejemplo, B = 114 = 203, ratioanl los puntos están en (47, 36) y (113, 12972).

Espero que esto te puede ayudar.

Answer 3

Harry cuando x es racional, las coordenadas y no son racionales para la mayoría de los valores de x. Si nos fijamos en (x ^ 2 + 5) mod (6 - x) el valor es 0, x = 5; del mismo modo para el otro ejemplo (x ^ 2 + 203) mod (114 - x) sólo como 0 x = 47 y x = 113. Es el mismo para números más grandes (100 dígitos).