Estoy teniendo problemas derivados de Dirac adjunto ecuación, $$\overline{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}+m)=0.\tag{1}$$ Empecé tomando el Hermitian adjuntos de todos los componentes de la original de la ecuación de Dirac, me da $$\psi^{\dagger}(-i\gamma^{\mu\dagger}\partial_{\mu}^{\dagger}-m)=0.\tag{2}$$ The adjoint of the gamma matrices is defined to be $\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0\gamma^{\mu}\gamma^0$, so no issues there. Now intuitively, I would think that the adjoint of the 4-gradient would be $\partial_{\mu}^{\dagger}=-\partial_{\mu}$. In non-relativistic quantum mechanics, it can be shown that first derivative operators are anti-Hermitian, so for example, $\frac{d}{dx}^{\dagger}=-\frac{d}{dx}$. Así que yo creo que este sería el mismo caso para el 4 de gradiente, pero al parecer no lo es. Entre las muchas derivaciones que me he excedido, por ejemplo, en la página 77 aquí, se afirma que el 4 de gradiente es auto-adjunto. Podría alguien por favor explique por qué mi intuición es incorrecta?
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Ampliando mi comentario.
La idea básica es que lo que quieres decir por adjoint depende del espacio vectorial de ser considerada. Por ejemplo, podemos tener a $\mathbb{C}^n$ como nuestro espacio, con las habituales interior del producto; en ese caso, el adjunto de un vector o de una matriz es la transpuesta conjugada. Tenga en cuenta que, técnicamente, teniendo adjunto de un vector no devuelve un vector, porque vectores fila y vectores columna pertenecen a diferentes espacios.
También podríamos hacer uso de $L^2(\mathbb{R}^n)$ como nuestro espacio vectorial. Sus elementos son funciones, y el producto interior está definido por
$$(f,g) = \int d^n x\ f^* g$$
Usted puede tomar adjoints aquí también, el uso del producto interior definido anteriormente. Se puede demostrar que el operador de la derivada, que es una transformación lineal en $L^2$, es anti-Hermitian.
Ahora a la ecuación de Dirac. El espacio vectorial (es decir, spinor espacio) siendo considerada aquí es $\mathbb{C}^4$, no $L^2$. Es decir, $\psi$ es un vector porque tiene cuatro componentes, no porque sea una función. El hecho de que sus componentes son funciones de aquí es irrelevante. Cuando tomamos adjoints, nos transponer y conjugado de vectores y matrices. El derivado es un operador en caso de que usted piensa acerca de lo que hace a las funciones, pero no es una $4\times4$ matriz; no hace nada para spinors. Por lo tanto, el particular, adjunto estamos haciendo aquí no es.
Tal vez el siguiente argumento es más convincente:
La ecuación de Dirac$^1$ $$ (i\gamma^{\mu}\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\psi~=~0 \tag{A}$$ es el lema fundamental del cálculo variacional equivalente a $$ \forall \phi:\quad 0~=~\int d^4x~\bar{\phi}(i\gamma^{\mu}\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\psi, \tag{B}$$ donde $\phi$ es arbitraria (off-shell) de Dirac spinor.
Hermitian conjugación en Dirac spinor espacio conduce a $$ \forall \phi:\quad0~=~\int d^4x~\bar{\psi}(-i\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{\!\mu}~\gamma^{\mu}-m)\phi, \tag{C}$$ que es equivalente a $$ \bar{\psi}(i\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{\!\mu}~\gamma^{\mu}+m)~=~0,\tag{D}$$ cf. el comentario de arriba por Javier.
Por otro lado, si también integramos (C) por partes, obtenemos (después de descartar límite de términos) $$ \forall \phi:\quad 0~=~\int d^4x~\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\phi, \tag{E}$$ donde la derivada actúa ahora en $\phi$.
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$^1$ Se usan las siguientes convenciones: $$ \bar{\psi} ~=~ \psi^{\dagger}\gamma^0 , \qquad\gamma^{\mu\dagger}~=~\gamma^0\gamma^{\mu}\gamma^0, \qquad (\gamma^0)^2~=~{\bf 1}_{4\times 4}. \tag{F}$$
