Dejemos que $A$ y $B$ ser dos $3\times 3$ matrices con entradas complejas tales que $A^2=AB+BA$ . Demostrar que $\det(AB-BA)=0$ .
(¿Es cierto el resultado anterior para matrices con entradas reales?)
Dejemos que $A,B\in F^{n,n}$ , $F$ cualquier campo de la característica $\ne 2$ , $n$ impar. Supongamos que satisfacen $A^2 = AB+BA$ .
Desde $A^2=AB+BA$ lo siguiente $$ AB-BA= A^2-2BA= (A-2B)A. $$ Entonces sostiene $$ \det(AB-BA) = \det((A-2B)A) = \det(A(A-2B)). $$ Ahora tenemos $$ A(A-2B) = A^2-2AB = BA-AB. $$ Esto demuestra $$ \det(AB-BA) = \det(BA-AB) = \det( -(AB-BA)) = (-1)^n \det(AB-BA), $$ y como $n$ es impar (y $1+1\ne0$ ), $\det(AB-BA)=0$ sigue.
Si el campo tiene la característica 2, el resultado también es verdadero: En este caso $AB-BA=AB+BA=A^2$ . Supongamos que $A$ es invertible. Entonces la suposición $A^2=AB+BA$ implica $I_3=BA^{-1}+A^{-1}B$ . La traza de la matriz de la izquierda es $1$ la traza de la matriz de la derecha es $tr(BA^{-1}+A^{-1}B)=tr(BA^{-1})+tr(BA^{-1})=0$ contradicción. Así que $A$ no puede ser invertible, y $\det(AB-BA)=\det(A^2)=0$ .
En un campo de característica dos, el último paso falla. En efecto, a partir de $D = -D$ obtenemos $2 \, D = 0$ y esto no es suficiente para concluir $D = 0$ .
Esto fue más fácil de lo que pensé en un principio. Tenga en cuenta que $$ AB - BA = AB + BA - 2BA = A^2 - 2BA = (A-2B)A\\ -(AB - BA) = AB + BA - 2AB= A^2 - 2AB = A(A - 2B) $$ y que tenemos tanto $\det(AB - BA) = \det(-(AB - BA))$ y $\det(AB - BA) = -\det(-(AB - BA))$ .
Mi planteamiento original: observar que $AB - BA$ tiene traza cero. Entonces, observamos que $$ AB - BA = AB + BA - 2BA = A^2 - 2BA = (A-2B)A\\ -(AB - BA) = AB + BA - 2AB= A^2 - 2AB = A(A - 2B) $$ A partir de ahí, observamos por el teorema del determinante de Sylvester que $$ \det(AB - BA - \lambda I)= \\ \det((A - 2B)A - \lambda I) =\\ \det(A(A - 2B) - \lambda I) =\\ \det(-(AB - BA) - \lambda I) =\\ (-1)^3 \det(AB - BA + \lambda I) $$ Por lo tanto, si $\lambda$ es un valor propio de $AB - BA$ entonces también lo es $-\lambda$ . (Como alternativa, se puede observar directamente que $(A - 2B)A$ y $A(A - 2B)$ deben tener los mismos valores propios).
Así, sabemos que $AB - BA$ tiene $3$ valores propios cuya suma es cero y tal que $\lambda$ es un valor propio si $-\lambda$ es un valor propio. Concluimos que $AB - BA$ debe tener $0$ entre sus valores propios. Es decir, $\det(AB - BA - 0I) = \det(AB - BA) = 0$ .
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Como observación, existen contraejemplos cuando los tamaños de $A$ y $B$ son pares. Por ejemplo, cuando $A=\pmatrix{1&-1\\ 0&-1}$ y $B=\pmatrix{1&0\\ 1&-1}$ tenemos $A^2=AB+BA=I$ pero el determinante de $AB-BA=\pmatrix{-1&2\\ -2&1}$ es $3\ne0$ .