Residuo de $f(z) = \frac{z}{1-\cos(z)}$ $z=0$

Question

He estado estudiando por algunas variables complejas y sólo comenzó en los residuos. Estoy buscando un problema donde me han pedido para calcular el residuo de:

$$f(z) = \frac{z}{1-\cos(z)}$$

$z=0$. No estoy muy seguro de cómo encontrar la serie de Laurent de esta función, y realmente no puedo aplicar ya sea fórmula integral de Cauchy. Por lo que agradeceria si alguien me puede conseguir comenzado.

Answer 1

La primera pregunta que usted debe preguntar es qué tipo de singularidad $f(z)$ tiene $z = 0$. Ya que $z$ tiene un cero de orden $1$ $1 - cos(z)$ tiene un cero de orden $2$, $f(z)$ tiene un polo simple. $zf(z)$ Tiene una singularidad desprendible y relacionadas con la expansión de la serie de energía en $0$ $f(z)$ y $zf(z)$, sabes que el residuo de $f(z)$ $z = 0$ es el valor de $zf(z)$ $z = 0$. Ahora necesita encontrar este valor.

Answer 2

Utilizando la serie de energía $\cos(z)=1-\frac12z^2+O(z^4)$ rinde $$\begin{align} f(z) &=\frac{z}{1-(1-\frac12z^2+O(z^4))}\ &=\frac{1}{\frac12z+O(z^3)}\ &=\frac{1}{z}\frac{1}{\frac12+O(z^2)}\ &=\frac{1}{z}(2+O(z^2)) \end {Alinee el} $$ por lo tanto el residuo es $2$

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Otro pensamiento es escribir $$\begin{align} \frac{z}{1-\cos(z)} &=\frac{z^2}{\sin^2(z)}\frac{1+\cos(z)}{z}\ &=\frac{1}{1+O(z^2)}\cdot\frac{2+O(z^2)}{z} \end {Alinee el} $$ nuevamente dando un residuo de $2$.

Answer 3

Escriba el (primeros algunos términos de la) serie de Taylor para $\cos z$ y restar esto de 1. Usted debe encontrar que el resultado puede escribirse en la forma $1-\cos z=az^2+bz^4+\cdots$ % constantes $a$y $b$, y donde los puntos representan mayores poderes de $z$. Luego piense en usar el teorema del binomio para definir el coeficiente de $z^{-1}$ $$ f(z) = \frac{z}{1-\cos z}=\frac{z}{az^2(1+\frac{b}{a}z^2+\cdots)}.$ $

Answer 4

$\displaystyle\text{Res}=\lim_{z\to0}(z-0)f(z)=\lim\frac{z^2}{1-\cos z}$. Ahora de uso l'Hopital la regla dos veces.