¿Por qué las funciones trigonométricas no son adimensionales independientemente del argumento?

Question

Considere esta ecuación :-

$$y = a\sin kt$$ donde $a$ es la amplitud, $y$ es el desplazamiento, $t$ es el tiempo y $k$ es una constante adimensional.

Mi instructor dijo que esta ecuación es dimensionalmente incorrecta porque la dimensión de $[kt] = [\text{T}^1]$ y puesto que $\text{angles}$ son adimensionales, podemos concluir que es dimensionalmente incorrecto.

No entiendo por qué es así. ¿Por qué tenemos que comprobar la homogeneidad de dimensión del término dentro del $\sin$ para concluir si la ecuación es dimensionalmente correcta o no?

¿Por qué no es toda la función seno es adimensional $(\sin kt = \text{[T}^0])$ independientemente de la dimensión del argumento en su interior ya que el rango de la función seno es $[-1, 1]$ .

Answer 1

Una definición de la función senoidal (de hecho, la que probablemente utiliza su calculadora) es la siguiente $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$ Esta definición es dimensionalmente incoherente a menos que $x$ es adimensional. La prueba de que esto le da el seno trigonométrico familiar si $x$ es la relación de dos longitudes cuidadosamente elegidas te lleva a través de un una franja sorprendentemente interesante de las matemáticas .

Answer 2

En sine función $\sin(\theta)$ se define en función de un ángulo $\theta$ (medido en radianes). Así que la pregunta equivale a preguntar por qué un ángulo debe ser adimensional. (Por supuesto, las respuestas que invocan propiedades de las series de Taylor también son correctas). El ángulo $\theta$ entre dos direcciones se define como la relación $\theta = a/r$ donde $a$ es la longitud de arco que une los puntos extremos de un par de líneas de igual longitud $r$ apuntando en esas direcciones (véase el diagrama siguiente). Un ángulo es, por tanto, un cociente de dos longitudes, lo que hace que el ángulo sea adimensional. En particular, no importa si se mide $a$ y $r$ en metros, centímetros, pulgadas o parsecs, la respuesta para su relación $\theta$ siempre será la misma.

Answer 3

La cantidad $kt$ es adimensional.
Si $t$ tiene las dimensiones del tiempo entonces las dimensiones de $k$ debe ser $\text{time}^{-1}$ para que tu expansión en serie funcione.

Encontrarás esta idea una y otra vez en Física y comprobar las dimensiones a menudo es una buena forma de comprobar una derivación.
Carga y descarga de un condensador $C$ a través de una resistencia $R$ tiene un término $e ^{-\frac {t}{RC}}$ por lo que si $t$ es un tiempo, entonces $RC$ también tendrá las dimensiones del tiempo, de modo que $\frac{t}{RC}$ será adimensional, lo que no ocurriría si la expresión derivada contuviera $\frac{tC}{R}$ .

Answer 4

Todos Las funciones matemáticas sólo pueden utilizarse con argumentos adimensionales. La razón es bastante aburrida: estas funciones sólo están definidas para números reales, o quizá enteros, complejos o vectores reales. Pero tiempo no es ninguno de estos.

La única excepción que puede hacer son funciones homogéneas especialmente las funciones lineales. Una función lineal permite introducir y extraer unidades físicas (que son básicamente multiplicadores) del argumento, por lo que se puede utilizar una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ así como una función que asigna tiempos a tiempos (o, al menos, diferencias temporales a diferencias temporales). Con una función homogénea, se puede hacer lo mismo, pero puede recoger un poco de energía en la unidad en el proceso.

Answer 5

En Física no se calcula con números se calcula con magnitudes físicas que tienen una magnitud y una dimensión/unidad. Así que para que una ecuación tenga sentido debe ser dimensionalmente correcta: sólo se pueden sumar y restar cantidades con las mismas dimensiones y los argumentos de las funciones deben ser adimensionales: Log(x), Sin(x), Exp(x)... y así sucesivamente sólo tienen sentido si x es una cantidad adimensional. @Rob dio una explicación. No tiene sentido añadir por ejemplo un metro y un segundo, eso simplemente no está definido.

En cuanto a su ejemplo: para que sea dimensionalmente correcto, el argumento de la función debe ser adimensional. Suponiendo que $t$ tiene la dimensión de un tiempo debe multiplicarse por algo que tenga la dimensión de un tiempo inverso. En concreto, se trataría de una frecuencia angular, a menudo denominada $\omega$ . $k$ a menudo se utiliza como símbolo de un vektor de onda que tiene la dimensión de una longitud inversa.

Una onda viajera unidimensional típica tiene este aspecto:

$\Psi(x,t)=A*\sin(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t + \phi)$ .

Tiene un vector de onda $\vec{k}$ con una norma $|\vec{k}|=k=2\pi/\lambda$ una frecuencia angular de $\omega=2\pi/T$ una amplitud $A$ y una fase $\phi$ donde $\lambda$ es la longitud de onda y $T$ es el periodo. La amplitud puede tener una dimensión arbitraria que determina la dimensión de la onda.