Suprayectividad de derivados en espacios dimensionales infinitos

Question

Tengo un problema acerca de un ejercicio de Técnicas de Análisis Variacional, Borwein, J. M., Zhu, P. J (Ex. 2.1.2): Deje $X$ ser un espacio de Banach y deje $f: X \to \mathbb{R}$ ser un Fréchet diferenciable de la función (https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_derivativeFréchet_derivative). Supongamos que $f$ está delimitada desde abajo en cualquier conjunto acotado y satisface $$\lim_{\left \| x \right \| \to \infty} \frac{f\left (x \right )}{\left \| x \right \|}=+\infty$$ Then the range of $f'$ is dense in $X^*$.

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Por el método similar en $\mathbb{R}$$\gamma \in X^*$, dejando $g\left ( x \right ) = f \left ( x \right ) -\langle \gamma , x \rangle $. Me resultó $g \to \infty$$x \to \infty$. Sin embargo, no tengo idea de continuar o generar una secuencia en el rango de $f'$ convergentes a $\gamma$. También no sé cómo utilizar la hipótesis de que la $f$ está delimitada desde abajo en cualquier conjunto acotado.

Answer 1

Usted puede obtener la conclusión mediante la aplicación de Ekeland del variacional a $g$. (El principio debe ser discutido en ese libro, dada su título).

Desde $g(x) = f(x)-\langle \gamma,x\rangle$ está delimitado a continuación, para cualquier $\epsilon>0$ usted puede recoger $u\in X$ tal que $g(u)<\inf g+\epsilon$. De Ekeland del principio de obtener la existencia de un punto de $v$ tal que $$g(w)-g(v)\ge -\epsilon \|w-v\|\quad \text{ for all }w\tag{1}$$ Supongamos $\|g'(v)\|>\epsilon$. Entonces existe un vector unitario $h$ tal que $\langle g'(v), h \rangle > \epsilon$. Por lo tanto $$ g(v-t)-g(v) = -t\langle g'(v), h \rangle + o(t) \etiqueta{2} $$ que es estrictamente menor que $ -\epsilon t$ al $t$ es lo suficientemente pequeño. Esto contradice (1), demostrando que $\|g'(v)\| \le\epsilon$.

Por lo tanto $0$ está en la norma de cierre de la gama de $g'$, por lo tanto $\gamma$ está en la norma de cierre de la gama de $f'$.