Sé que esto debería ser relativamente sencillo, pero no consigo la respuesta completa correcta cuando lo compruebo con Wolframalpha. Aquí está mi intento.
Si nos guiamos por la definición, con $x,t,a \in \mathbb{R}$
$$\begin{align*} \mathcal{F}\left[\frac{1}{t^2+a^2}\right](x)&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-itx}}{t^2+a^2}dt\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-itx}}{(t-ia)(t+ia)}dt \end{align*}$$
Ahora bien, esto es relativamente fácil con el Teorema del Residuo (o eso supongo - creo que me falta un paso aquí). Tomando la cuenta $\gamma_R$ para ser el semicírculo que se encuentra en la mitad superior del plano complejo y cuyo radio es $R$ podemos demostrar que el residuo del integrando en el polo en $ia$ (como se puede ver claramente arriba, $e^{-itx}$ es entero) multiplicado por $2\pi i$ nos dará el valor de la integral impropia anterior.
A continuación he mostrado mis cálculos. Parece que me falta un signo de valor absoluto en mi respuesta, pero no puedo ver dónde entra en juego, incluso cuando $x<0$ . ¿Podría señalar mi(s) error(es)?
Cálculos
Sustituir todos los $t$ 's con $z$ en la integral anterior.
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-izx}}{(z-ia)(z+ia)}dz$$
Ahora estamos en el dominio complejo, y esta integral representa la integración del integrando sobre la recta real, pasando de $-\infty$ a $\infty$ . Así que consideramos el contorno del semicírculo $\gamma_R$ .
Si $R \rightarrow \infty$ Si la integral del contorno está en la línea real, la integración de la parte del contorno en la línea real nos dará nuestra integral original. Dicho esto, aplicamos el teorema del residuo. Sabemos que la integración sobre toda la semicircunferencia se puede simplificar mediante el teorema del residuo, y el único residuo que tenemos que calcular es el del polo $ia$ (que está dentro del contorno).
$$2 \pi i \textrm{Res} (f; ia) = \left. \frac{e^{-itx}}{t+ia}\right|_{t=ia} = \frac{\pi}{a}e^ax$$
Pero lo que acabo de recibir sólo se aplica a todo el contorno $\gamma_R$ no la línea horizontal en concreto. Ahora demuestro que sí se aplica a la línea horizontal en concreto (la línea real), ya que la parte superior de este semicírculo va a $0$ como $R \rightarrow \infty$ .
$$ \left| \int_{\textrm{top half}} \frac{e^{-izx}}{z^2+a^2}dz \right| \leq \pi R \left|\frac{1}{a^2-R^2}\right|, \, \rightarrow 0 \,\, \textrm{ as } R \rightarrow \infty $$
Así que la mitad superior no importa cuando $R$ es lo suficientemente grande.
Esto nos deja finalmente con
$$\mathcal{F}\left[\frac{1}{t^2+a^2}\right](x)=\frac{\pi}{a}e^{ax}$$
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Cuando compruebes que la integral del semicírculo superior llega a 0, no olvides que $z$ ¡es un número complejo! $e^{-izx}$ no es de módulo 1 sino de módulo $e^{x Im(z)}$ por lo que el contorno que hay que utilizar depende del signo de $x$
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Gracias. Ahora lo entiendo. Eso fue bastante rápido.