Cómo probar $( \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2)^{1/2} \le \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|$ (producto de cauchy)

Question

Tengo este:

$ (\ x_n)\ _{n \in \mathbb N} $ es la secuencia en $\mathbb C$, por lo que la serie de $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|$ converge.

Ya he demostrado que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2$ converge con la de cauchy-producto:

$\sum_{n=1}^{\infty} |x_n| * \sum_{n=1}^{\infty} |x_n| = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}|x_k|*|x_{n-k}|\ge \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}|x_k|*|x_{n-k}|=\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2$

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Ahora tengo que demostrar que:

$( \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2)^{1/2} \le \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|$

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Preguntas:

1. Es mi Prueba correcta?
2. Cómo puedo probar la otra pregunta?

Answer 1

Que $S^{(1)}m = \sum{k=1}^m|x_k|$ y $S^{(2)}m = \sum{k=1}^m|x_k|^2$. Asumir por inducción que la desigualdad $\sqrt{S_m^{(2)}} \leq S_m^{(1)}$ $m=1,2,\ldots,n$. Entonces

$$\sqrt{S_{n+1}^{(2)}} = \sqrt{Sn^{(2)}+|x{n+1}|^2} \leq \sqrt{(Sn^{(1)})^2 + |x{n+1}|^2} \leq Sn^{(1)} + |x{n+1}| = S_{n+1}^{(1)}$$

por lo que la desigualdad sostiene $m=n+1$. Desde $\sqrt{|x_1|^2} \leq |x_1|$ obtenemos la desigualdad sostiene para todas las $m\in\mathbb{N}$.

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Un enfoque más simple y más directo es simplemente calcular

$$\left(\sum_{k=1}^n|xk|\right)^2 = \sum{k=1}^n|xk|^2 + \sum{i\not= j}|x_ixj| \geq \sum{k=1}^n|x_k|^2$$

desde $|x_ix_j| \geq 0$.

Answer 2

Sugerencia: pruebe que $$\left(\sum_{n=1}^{N} |xn|\right)^2 \ge\sum{n=1}^{N} |x_n|^2$$ for all $N\in\mathbb{N} $.