Sea $A \subset \mathbb{R}^3$ y definamos $A_1, A_2, A_3 \subset \mathbb{R}^2$ como proyecciones de $A$ en tres planos perpendiculares (entre sí). Demostrar que: $$|A| \le \sqrt{|A_1| |A_2| |A_3|}\;,$$ donde $|\cdot|$ es el volumen cuando se aplica a $A$ y área cuando $A_{1,2,3}$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto puede ser exagerado, pero esta desigualdad es una simple consecuencia de la desigualdad de la primera página de este documento . Dice que, para cualesquiera tres espacios de medidas sigma-finitas $(X,\mu)$ , $(Y,\nu)$ y $(Z,\xi)$ y tres funciones cuadradas integrables cualesquiera $f:X \times Y \to \mathbb{R}$ , $g:Y \times Z \to \mathbb{R}$ y $h:Z \times X \to \mathbb{R}$ ,
$$\int_{X \times Y \times Z} f(x,y) g(y,z) h(z,x) d\mu (x) d\nu (y) d\xi (z) \leq \sqrt{\int_{X \times Y} f^2(x,y) d\mu (x) d\nu (y) \int_{Y \times Z} g^2(y,z) d\nu (y) d\xi (z) \int_{Z \times X} h^2(z,x) d\xi (z) d\mu (x)}.$$
Podemos suponer sin pérdida de generalidad que los tres planos perpendiculares son los planos canónicos $(x,y,0)$ , $(0,y,z)$ y $(x,0,z)$ . Entonces, tomando $f(x_0,y_0)=1$ si existe un $z$ tal que $(x_0,y_0,z)$ pertenece a $A$ (en otras palabras, $f$ se conjuga con $1_{A_1}$ mediante el morfismo trivial entre $\mathbb{R}^2$ y el primer plano canónico), y lo mismo para $g$ y $h$ se obtiene el resultado.
Algunas observaciones:
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La conectividad no es necesaria.
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El artículo que he enlazado trabaja con medidas de probabilidad. Sin embargo, como la desigualdad es homogénea en las medidas, se puede extender gratuitamente a medidas finitas (lo que resuelve el caso de medidas acotadas $A$ ), y con un poco de trabajo el caso sigma-finito es obvio - al menos para funciones positivas.
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Hay pruebas más sencillas, aunque sólo sea porque trabajamos con $\{0,1\}$ -pero de todas formas es bueno conocer el truco.
