¿Son los símbolos " $|$ " y " $:$ "¿en la definición de conjunto es exactamente lo mismo?

Question

Cuando leo algunos libros de matemáticas, a menudo veo dos símbolos diferentes para representar una condición específica de un conjunto. Algunos utilizan " $|$ " antes de la condición, mientras que otros utilizan " $:$ ".

Como ejemplo del primer caso, definimos la medida exterior inducida por $\mu$ como \begin{align*} \mu^*(E) = \inf \Big\{\sum_{i=1}^\infty \mu(E_i) \; \big| \; E_i \in \mathbb{R}, \; E \subset \bigcup_{i=1}^\infty E_i \Big\} \end{align*} que encuentro en un libro de texto donde utiliza " $|$ " antes de la condición.

Como ejemplo del segundo caso, definimos el espacio de Sobolev con $D^$ que denota una derivada débil de orden || \begin{align*} W_p^k() = \{ u L_p () : D^ u L_p (), \; || k \} \end{align*} que encuentro en una nota de clase donde utiliza " $:$ " antes de la condición.

Mi pregunta es muy sencilla: ¿Son los símbolos " $|$ " y " $:$ " aquí totalmente intercambiables con exactamente el mismo significado? Si no, ¿hacen hincapié en algo diferente?

Si son iguales, ¿se debe la existencia de dos notaciones diferentes a alguna razón histórica?

Answer 1

Como ya ha dicho mrp en su comentario, efectivamente significan lo mismo y, en mi opinión, se traducen por "tal que".

Dicho esto, he desarrollado un estilo personal con respecto a estos dos separadores que me resulta útil. Siempre escribo mi notación constructora de conjuntos como $$ \{ x \in X \mid \ldots \}, $$ y reserva $\colon$ para separar los cuantificadores de sus respectivas fórmulas. Así que una notación típica de constructor de conjuntos sería algo así $$ \{ x \in X \mid \forall y \colon \phi(x,y) \}, $$ donde $\phi$ es alguna fórmula. Esto parece ser bastante habitual en la literatura y la presentación uniforme parece ayudar a la legibilidad de las complejas notaciones de los constructores de conjuntos. Aplico un estilo muy similar a las secuencias $$ (a_i \mid i \in I \wedge \forall y \colon \phi(a_i, y) ), $$ que no veo muy a menudo en la literatura, pero ofrece el mismo tipo de beneficios.

Answer 2

Tienen el mismo significado. Elegir uno u otro es una cuestión de estilo, pero hay que tener en cuenta la legibilidad.

Utilizando $|$ se vuelve confuso cuando hay valores absolutos implicados, como en $$ \{ |x| | |x - 2| < 3\}$$ Debe utilizar \mid para conseguir un mejor espaciado: $$ \{ |x| \mid |x - 2| < 3\}$$ pero sigue sin ser fácil de leer.

En este ejemplo, $:$ se lee mejor: $$ \{ |x| : |x - 2| < 3\} $$

Prefiero utilizar $:$ siempre porque da mejor espacio y es más pequeño.