Cómo encontrar este $\int_{0}^{\infty}xe^{-x}\left(\int_{0}^{\pi/2}(1-e^{x-x\csc{t}})\sec^2{\!t}\,\mathrm dt\right)^2\,\mathrm dx=\frac{1}{3}$

Question

Este problema fue tomado de aquí:

Mostrar que %#% $ #%

mi idea: $$\int{0}^{\infty}xe^{-x}\left(\int{0}^{\pi/2}(1-e^{x-x\csc{t}})\sec^2{!t}\,\mathrm dt\right)^2\,\mathrm dx=\dfrac{1}{3}$ $

donde $$\int{0}^{\infty}xe^{-x}\left(\int{0}^{\pi/2}(1-e^{x-x\csc{t}})\sec^2{!t}\,\mathrm dt\right)^2\,\mathrm dx=\dfrac{1}{3}=\int{0}^{\infty}x^3e^xK^2{0}(x)\,\mathrm dx?$ es la función de Bessel.

Answer 1

La respuesta $\frac 1 3 $ parece no ser cierto. Mathematica 9.0.1.0 calcula tanto el interior de la integral (que de hecho es igual a $x \exp (x) K_0(x)$) y la integral bajo consideración en forma cerrada. El resultado se expresa en términos de la EllipticE, EllipticK, y funciones hipergeométricas. Su valor numérico es igual a 2.85645. El mismo resultado numérico es producida por Arce. El Mathematica *.nb archivo exportado como un *.archivo pdf se puede descargar desde RapidShare.