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Question

En un examen, mi profesor le dio el siguiente ejercicio:

Estado y demostrar el teorema espectral para operadores compactos. Deje $K$ ser el operador definido por:

$$Kf(t)=\int_0^1\min(t,s)f(s)\mathrm{d}s.$$

(i) demuestre $K$ es un operador acotado de$L^2([0,1])$;

(ii) demuestre $K$ es un compacto y auto-adjunto del operador;

(iii) Determinar el espectro de $K$; es el punto 0 de un autovalor?

(iv) Calcular el operador de la norma de $K$.

Aparte de preguntándome si él significaba compacta auto-adjuntos a los operadores o quería declaración y prueba de las propiedades del espectro, es decir, que 0 es un elemento y no ser sólo un número finito de finito de valores propios multiplicidad de $K$ fuera de cualquier disco centrado en 0, puedo manejar la prueba de la parte. Esta es una de Hilbert-Schmidt operador, por lo que analizamos el kernel. Nos muestran es $L^2([0,1]^2)$ como sigue:

\begin{align*} \int_{[0,1]^2}\min(t,s)^2\mathrm{d}s\mathrm{d}t={}&\int_0^1\int_0^1\min(t,s)^2\chi_{t\leq s}(s)\mathrm{d}t\mathrm{d}s+{} \\ &{}+\int_0^1\int_0^1\min(t,s)^2\chi_{s\leq t}(s)\mathrm{d}s\mathrm{t}={} \\ {}={}&\int_0^1\int_0^st^2\mathrm{d}t\mathrm{d}s+{} \\ &{}+\int_0^1\int_0^ts^2\mathrm{d}s\mathrm{d}t={} \\ {}={}&\int_0^1\frac{s^3}{3}\mathrm{d}s+\int_0^1\frac{t^3}{3}\mathrm{d}t={} \\ {}={}&\frac{1}{12}=\frac{1}{12}=\frac16. \end{align*}

De manera que el operador es a la vez compacto y acotado, y ha operador de la norma en la mayoría de las $\frac16$. El núcleo es evidente, real y simétrica w.r.t. variable de intercambio, por lo tanto el operador auto-adjunto.

Pero, ¿cómo puedo encontrar el espectro? ¿Cómo puedo mostrar un 0 es(n t) un autovalor? Y ¿cómo puedo encontrar el espectro de la norma? Traté de producir un autovector de cero, y hayan demostrado monomials, $\sin(2\pi kx)$ $\cos(2\pi kx)$ no lo son. Así que ahora estoy un poco perdida. He intentado suponiendo $Kf=0$ y terminó con el siguiente:

$$\int_0^tsf(s)\mathrm{d}s+t\int_t^1f(s)\mathrm{d}s=0,$$

para todos los $t\in[0,1]$. Ahora, ¿qué? Luego he intentado utilizar monomials para obtener la norma como ser exactamente la norma del kernel. Así que me normalizado $s^n$$L^2$, consiguiendo $\sqrt{2n+1}s^n$. He conectado en $K$ y consiguió $\frac{\sqrt{2n+1}}{n+1}t[1-\frac{t^{n+1}}{(n+1)(n+2)}$. Luego he conectado esta en wolfram, y tengo este, que evalued en $t=1$ da este. Ahora el mínimo parece ser 0, pero a la vez es alcanzado por $n=-\frac12$ da $\frac{1}{\sqrt{x}}\notin L^2$, así que al menos este está bueno para ir. Sin embargo, el cálculo que max me dio algo alrededor de 0.3, que es más de $\frac16$, lo que he calculado para la norma del kernel. He calculado mal algo? Y ¿cómo puedo encontrar ese espectro?

Answer 1

Está claro que $0$ está en el espectro de $K$, ya que el $K$ es compacto. Dirijámonos a si es un autovalor: si $$ Kf=0,$$ esto significa que tenemos $$\etiqueta{1} 0=t\int_t^1f(s)\,ds+\int_0^ts\,f(s)\,ds. $$ Diferenciar (a través de Lebesgue del Teorema de la Diferenciación), $$\etiqueta{2} 0=\int_t^1 f(s)\,ds-tf(t)+tf(t)=\int_t^1f(s)\,ds,\ \ \ \text{a.e.}. $$ Then, for any $v,t\in[0,1]$, $$ \int_t^vf(s)\,ds=\int_t^1f(s)\,ds-\int_v^1f(s)\,ds=0. $$ La aplicación de Lebesgue de diferenciación de nuevo, tenemos que $f(t)=0$.e. De ello se desprende que $0$ no es un valor propio.

Para el cero de la parte del espectro: desde $K$ es compacto, todos distintos de cero los elementos del espectro están los autovalores. Suponga que $\lambda$ es un autovalor: luego $$\etiqueta{3} \lambda f(t)=t\int_t^1f(s)\,ds+\int_0^ts\,f(s)\,ds. $$ El lado derecho de la $(3)$ es continua, por lo $f$ es continua. Pero, sabiendo que $f$ es continuo, el lado derecho es diferenciable; por lo $f$ es diferenciable. Repitiendo el razonamiento, podemos conseguir que $f$ es infinitamente diferenciable. Si podemos diferenciar $(3)$, obtenemos $$\etiqueta{4} \lambda f'(t)=\int_t^1 f(t)\,ds-tf(t)+tf(t)=\int_t^1 f(t)\,ds. $$ La diferenciación de una vez de nuevo, $$\etiqueta{5} \lambda f"(t)=-f(t). $ De$ la solución a esto es DE $$\etiqueta{6} f(t)=\alpha\,\cos\frac{t}{\sqrt\lambda}+\beta\,\sin\frac{t}{\sqrt\lambda}. $$

Poniendo esto $f$ a $(3)$, obtenemos, después de simplificar, $$ 0=\alpha t\sqrt\lambda\sin\frac1{\sqrt\lambda}+\beta t\sqrt\lambda\cos\frac1{\sqrt\lambda}-\alpha\lambda. $$ La evaluación en $t=0$, obtenemos $\alpha=0$. De manera que la ecuación se satisface cuando $\beta\ne0$, y para cada $t>0;$, con lo que $$ \cos\frac1{\sqrt\lambda}=0. $$ Esto obliga a $$\frac1{\sqrt\lambda}=\frac\pi2+k\pi,$$ de modo que los valores propios son $$ \lambda_k=\frac4{(2k-1)^2\pi^2},\ \ k\in\mathbb N. $$

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Finalmente, el operador de la norma: desde $K$ es selfadjoint, tenemos $$ \|K\|=\sup\{|\lambda|:\ \lambda\en\sigma(K)\}=\sup\left\{\frac4{(2k-1)^2\pi^2}:\ k\in\mathbb N\right\}=\frac4{\pi^2}. $$