Que $f(x) = 5x+9$. Mostrar que $\lim \limits_{x \to -3}f(x)=-6$

Question

Deje $f(x)=5x+9$. Mostrar que $\lim \limits_{x \to -3}f(x)=-6$

Un par de preguntas acerca de mostrar esto y que lo pruebe. Como estoy trabajando con el problema que no entiendo cómo he probado o algo demostró como no entiendo los resultados que obtengo.

Entiendo que $\delta$ está en un rango entre el$x$$L$, e $\epsilon$ está en un rango entre el$f(x)$$L$, entonces, ¿qué hacen estas pruebas me dicen?

Una pregunta más fácil, sin embargo, es a la vez que comprueban esto, un término que aparece (mi instructores de notas) y no sé de donde vino:

Queremos encontrar a $\delta$ tal que $\left|f(x)-(-6)\right|=\left|(5x+9)-(-6)\right|\lt \epsilon$ siempre $0 \lt \left|x-(-3)\right| \lt \delta$

Pero $\left|(5x+9)-(-6)\right|=\left|5x+15\right|=5\left|x+3\right|=5\left|x-(-3)\right|\lt 5 \delta$ (donde el$5\delta$?). Por lo tanto, queremos $5\delta=\epsilon$, lo que implica que $\delta=\frac{\epsilon}{5}$

Answer 1

Desea $\left|f(x)-(-6)\right|=5\left|x-(-3)\right|

Answer 2

Tenga en cuenta que $|x-(-3)|

Answer 3

El punto entero de epsilon-delta pruebas es dado cualquier rango de alrededor de $x=-3$, quiere mostrar que usted puede conseguir arbitraria cerca de su supone que el límite de lo posible.

Su rango está dentro de $\delta$ $-3$ así:

$$0<|x-(-3)|<\delta$$

Ahora sólo tiene que demostrar que usted puede conseguir arbitraria cerca de su supone que el límite $-6$. En otras palabras, se desea mostrar que en su rango de la distancia entre las $f(x)$ $L=-6$ es menos de lo que algunos arbitraria $\epsilon$:

Así que usted quiere mostrar:

$$0<|x-(-3)|<\delta \implies 0<|(5x+9-(-6)|<\epsilon$$

Donde

$$A \implies B$$

Significa que "si $A$$B$"

La prueba es correcta, pero vamos me aconseja usted que en el fin de entender lo que usted necesita saber de qué modo arbitrario. Esto significa que "no se le asigna un valor específico".

En cuanto a tu otra pregunta sobre la manera en la que se de$|(5x+9)-(-6)|=5|x+3|$$|(5x+9)-(-6)|<5\delta$, ten en cuenta que esto sólo se sigue de su rango dado que el$0<|x+3|<\delta$, por lo que multiplicando ambos lados por $5$ da $0<5|x-(-3)|<5\delta$.

Answer 4

$5\delta$ proviene de los límites en las $\delta$ originalmente configurado en el dominio de la $\epsilon-\delta$ definición de un límite. A partir de la definición original,calculado |f(x)-L| < $\epsilon$ y el resultado cuando se disipó el humo fue de 5|x -(-3)| < 5 $\delta$ dado que 0< |x -(-3)| < $\delta$. Esto proporciona la opción de $\epsilon$ .

Una gran cantidad de estudiantes que están batallando con la realización de los límites rigurosamente porque ellos no aprenden de las desigualdades y no se dan cuenta de que están realmente haciendo lo que siempre hace en álgebra con ecuaciones,solo que las desigualdades en el tiempo.No es de diferente tipo, desde la solución de x o de y cuando se trabaja con ecuaciones.La única diferencia es que en lugar de obtener un número específico, usted está consiguiendo un rango aceptable de valores, dada la desigualdad. Y como Ahmed bien lo señala en su respuesta, usted tiene que sentirse cómodo con la idea de que $\epsilon$s y $\delta$s son arbitrarias de los números reales que satisfacen las condiciones del problema.Es la sustitución de la igualdad con la desigualdad, con la certeza de la incertidumbre.Esta es realmente la diferencia entre el juguete de los problemas que has aprendido en el cálculo y problemas en el mundo real. Usted necesita practicar y practicar mucho-después de un tiempo, usted se preguntará por qué era tan desconcertante en el primer lugar!

Answer 5

Puede parecer un poco extraño ir a través de este rigamarole para calcular el límite de$f(x)$$x = -3$, cuando uno simplemente puede evaluar $f(-3) = -6$. Pero el propósito de tener un límite es averiguar cuál es la función que está haciendo en torno a $x = -3$; esto es importante con otras funciones, cuyo valor real en un valor dado de a $x$ (si existe) no es útil.

Usted puede pensar en él como una especie de juego entre dos jugadores.

Alice dice: "$f(x)$ enfoques $-6$ $x$ enfoques $-3$."

Bob dice: "Naah, solo se ve como se aproxima $-6$."

Alice: "no me crees? Entonces usted debe pensar que hay un valor de $x$ cerca de $-3$ que $f(x)$ no $-6$."

Bob: "Sí, supongo que es a lo que me refiero."

Alice: "OK, dirá lo que: escoja lo cerca que quieras $f(x)$ a $-6$. Y te diré qué tan cerca de su valor de $x$ tiene que ser $-3$. Si usted puede escoger un valor de $x$ que es lo suficientemente cerca de mí, así que que $f(x)$ no está lo suficientemente cerca para que usted, usted gana. De acuerdo?"

Bob: "Bien. Quiero $f(x)$ dentro $1/100$$-6$."

Alice: "No hay problema. Entonces me voy a obligar a escoger un valor de $x$ dentro $1/500$$-3$. Se puede encontrar uno así que $f(x)$ es más de $1/100$$-6$?"

Y, por supuesto, Bob no puede, ya que cada valor de $x$ en el intervalo de $(-3.002, -2.998)$ produce un valor de $f(x)$ en el intervalo de $(-6.01, -5.99)$, tal como es requerido por Bob. La prueba de que el límite es una generalización de este desafío por Alice: No importa qué tan cerca de Bob exigencias $f(x)$$-6$, Alice puede exigir $x$ a estar lo suficientemente cerca de a $-3$ que $f(x)$ siempre cumple de Bob demanda.

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Ahora, ¿por qué Alice seleccionar un umbral de $1/500$? Ella lo hizo específicamente en respuesta a Bob umbral de $1/100$. Desde $f(x)$ cambia cinco veces más rápido, por así decirlo, como $x$ sí no, Alice sabía que tenía que escoger un umbral de cinco veces tan ajustado como el de Bob. Es decir, cualquier desviación $\delta$ fue permitido por $x$ produciría una desviación $5\delta$$f(x)$. Si que tenía que caber dentro de un subsidio de $\varepsilon$, Alice tuvo que establecer $5\delta$ no más de $\varepsilon$. Ella podría menor, si así lo desea, pero ella tenía que establece que no más.

En general, cuando se realiza una prueba de límites, Alice se le permite hacer su umbral ( $\delta$ ) dependen de Bob umbral ($\varepsilon$).