Fórmula integral para $\frac{1}{\Gamma(z)}$

Question

Que $c>0$. Cómo demostrar que para cualquier número complejo $z$, $$\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty (c+it)^{-z}e^{c+it}\,dt? $\Gamma(z)$ Dónde está la función Gamma.

Answer 1

En dos pasos:

• Considerar la derecha como un contorno complejo integral. El integrando tiene una rama punto $t=ic$ en el plano medio superior. Introducir la rama corte $B=[ic,i\infty)$ y deforman el contorno de integración que va hacia la izquierda de $i\infty$ $i\infty$ alrededor de $B$. Combinado con la definición de la función gamma, esto le dará algo proporcional al $\Gamma(1-z)\sin\pi z$.
• Aplicar la fórmula de reflexión de Euler para reemplazar $\Gamma(1-z)\sin\pi z$ $\dfrac{\pi}{\Gamma(z)}$.