Probar un mapeo de contracción es una secuencia de Cauchy

Question

Deje $\phi(x):[a,b]\rightarrow [a,b]$ ser una función continua. Mostrar que si $\phi(x)$ es una asignación de contracción en $[a,b]$, a continuación, la secuencia de $\{x^{(k)}\}$ definido por $x^{(k+1)} = \phi(x^{(k)})$ es una secuencia de Cauchy.

Intento de solución - Desde $\phi(x)$ es una contracción de asignación tenemos $$|x^{(k+1)} - x^{(k)}| = |\phi(x^{(k)}) - \phi(x^{(k-1)})|\leq L|x^{(k)} - x^{(k-1)}|$$ Applying this idea repeatedly we get $$|x^{(k+1)} - x^{(k)}|\leq L^k|x^{(1)} - x^{(0)}|$$ Ahora consideran que el término que debe ser delimitada con el fin de ser una secuencia de Cauchy \begin{align*} |x^{(m)} - x^{(m+n)}| &= |(x^{(m)} - x^{(m+1)}) + (x^{(m+1)} - x^{(m+2)}) + \ldots + (x^{(m+n-1)} - x^{(m+n)})|\\ &\leq |(x^{(m)} - x^{(m+1)})| + |(x^{(m+1)} - x^{(m+2)})| + \ldots + |(x^{(m+n-1)} - x^{(m+n)})|\\ &\leq (L^m + L^{m+1} + \ldots + L^{m+n-1})|x^{(1)} - x^{(0)}| \end{align*}

No estoy seguro de cómo proceder, y muestran que para algunos $M$ podemos obtener esta desigualdad es menos de lo que algunos $\epsilon$.

Cualquier sugerencia es muy apreciado.

Answer 1

Estás en el camino correcto. Cuenta que desde $0<l como="" eligiendo="" grande.="" hacer="" l="" peque="" puede="" se="" suficientemente="" tan="" tenemos=""></l>

Answer 2

Está muy cerca de completar la prueba. Todo lo que necesitas es el "paso final".

Aquí está la prueba, completado con el "paso final" (en detalles).

Deje $\phi(x):[a,b]\rightarrow [a,b]$ ser una función continua. Mostrar que si $\phi(x)$ es una asignación de contracción en $[a,b]$, a continuación, la secuencia de $\{x^{(k)}\}$ definido por $x^{(k+1)} = \phi(x^{(k)})$ es una secuencia de Cauchy.

Prueba Desde $\phi(x)$ es una contracción de asignación tenemos $$|x^{(k+1)} - x^{(k)}| = |\phi(x^{(k)}) - \phi(x^{(k-1)})|\leq L|x^{(k)} - x^{(k-1)}|$$ donde $0\leq L< 1$. Se sigue por la inducción (es decir, la aplicación de esta idea en repetidas ocasiones), llegamos a la $$|x^{(k+1)} - x^{(k)}|\leq L^k|x^{(1)} - x^{(0)}|$$ Ahora consideran que el término que debe ser delimitada con el fin de ser una secuencia de Cauchy \begin{align*} |x^{(m)} - x^{(m+n)}| &= |(x^{(m)} - x^{(m+1)}) + (x^{(m+1)} - x^{(m+2)}) + \ldots + (x^{(m+n-1)} - x^{(m+n)})|\\ &\leq |(x^{(m)} - x^{(m+1)})| + |(x^{(m+1)} - x^{(m+2)})| + \ldots + |(x^{(m+n-1)} - x^{(m+n)})|\\ &\leq (L^m + L^{m+1} + \ldots + L^{m+n-1})|x^{(1)} - x^{(0)}|= \\ & =\left( \sum_{k=m}^{m+n-1}L^k \right) |x^{(1)} - x^{(0)}| \leq \left( \sum_{k=m}^{\infty}L^k \right) |x^{(1)} - x^{(0)}| = \\ & = \frac{L^m}{1-L}|x^{(1)} - x^{(0)}| \end{align*}

Dado $\varepsilon >0$, ya que el $0\leq L <1$, $M\in \mathbb{N}$ tal que para todos los $m>M$ y todos los $n \in \mathbb{N}$, $$|x^{(m)} - x^{(m+n)}| \leq \frac{L^m}{1-L}|x^{(1)} - x^{(0)}| \leq \varepsilon$$

Así que la secuencia $\{x^{(k)}\}$ es una secuencia de Cauchy.