¿Anteposición de cadenas y números primos?

Question

todos sabemos que 31,331,3331,33331,333331,3333331,33333331 todos son primos. Aquí nos anteponer el dígito 3 a 31, para obtener una lista de números 7 primos. Esto me da el siguiente pensamiento:

Que $D = {\text{all possible nonnull finite digit strings}}$, $D' = {\text{all things in D that do not start with "0"}}$. Definir una función $m: D' \times D -> N \cup {\infty}$ por: $m(A,B)= |$ {todos los ceba integrantes de la lista AB, AAB, AAAB,.. .hasta hasta pero no incluyendo el primer miembro del compuesto} | (el tamaño del conjunto). Entonces: ¿M siempre toma el valor $\infty$? ¿Si no, es una función ilimitada?

Answer 1

Creo que es fácil demostrar que los $m$ es finito. Suponga $AB$ es primo (de lo contrario, $m=0$, lo que es muy finito). Voy a probar que existen más tarde términos de la secuencia divisible por $AB$. Restar $AB$ de cada uno de los períodos posteriores en la secuencia (que no afectará a la divisibilidad por $AB$), entonces todo lo que tienes que hacer es mostrar $AB$ divide $AA\dots A00\dots0$, de hecho, $AA\dots A$, para un número de repeticiones de $A$. Si $A$ es de longitud $s$, $AA\dots A=A\times(10^{ns}-1)/(10^s-1)$ donde $n$ es el número de repeticiones de $A$. Si tomamos $n=AB-1$, luego por Fermat, $AB$ divide $(10^s)^n-1$, y hemos terminado.

Bueno, hay un poco de algunas cosas que he barrido debajo de la alfombra aquí, pero creo que estamos todos de fácil manipulación.

Demostrando $m$ es ilimitado se ve más difícil. No es un millón de millas de probar que para cada $m$ hay un primer $p$ tal que $2p+1,4p+3,\dots 2^mp+2^m-1$ son todos prime (en binario, estos son los números de $p$ al virar queridos en el derecho final de la misma), y que es un notorio problema sin resolver.