Diferencia entre un teorema y una ley

Question

Hay un montón de teoremas y leyes dentro de las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra de Boole:

Teoremas

• Idempotente
• Involutivo
• Teorema de Complementariedad

Leyes

• Conmutativa
• Asociativa
• Distributiva

Hay innumerables ejemplos más, pero mi verdadera pregunta es: ¿Qué hace que un teorema sea un teorema y una ley sea una ley?

Answer 1

Los teoremas son resultados probados a partir de axiomas, más específicamente los de la lógica matemática y los sistemas en cuestión. Leyes generalmente se refieren a los propios axiomas, pero también pueden referirse a fórmulas bien establecidas y comunes como la ley de los senos y la ley de los cosenos, que en realidad son teoremas.

En un contexto particular, proposiciones son los teoremas más triviales, los lemas son resultados intermedios, mientras que los corolarios son resultados deducidos fácilmente a partir de otros. Sin embargo, los lemas y corolarios pueden ser resultados importantes por sí mismos.

Nótese que un sistema puede recibir axiomas de más de una manera. Por ejemplo, podemos usar el axioma del límite superior mínimo para definir los números reales, o podemos considerar este axioma como un teorema si construyéramos los reales a partir de los racionales usando cortes de Dedekind y lo probáramos en su lugar. La diferencia aquí radica en qué axiomas elegimos para comenzar.

Answer 2

Los teoremas son deducidos, las leyes son inducidas.

Los teoremas son deducidos a partir de axiomas. Las leyes son inducidas a partir de observaciones.

Una ley puede ser utilizada como un axioma o como un teorema de una teoría.

Answer 3

Un teorema es una declaración probada por una cadena de razonamiento. El teorema no es evidente por sí mismo. Se deriva después de considerar los resultados de varias declaraciones lógicas (a menudo incluyendo otros teoremas). Un famoso ejemplo de esto es el Teorema de Pitágoras, que tiene casi 400 pruebas.

Las leyes son declaraciones que se infieren por observación. Las leyes no se prueban. Las leyes se demuestran en base a observaciones repetidas. Expresa una relación causal entre entidades bajo ciertas condiciones, y a menudo se expresa matemáticamente. Las Leyes de la Termodinámica (a menudo citadas sin el contexto matemático y mal interpretadas por esa misma razón) son buenos ejemplos.

Una teoría es una explicación establecida y respetada de un fenómeno natural, adquirida a través de la confirmación de sus principios mediante el método científico: prueba, confirmación, observación y experimentación.

Un hecho es una declaración verdadera bajo las condiciones establecidas. Algo que es indiscutiblemente cierto. Los hechos generalmente pueden reproducirse para ser verificados. Un simple contraejemplo inmediatamente descalificará un hecho como una afirmación falsa.

Una prueba en ciencia es una demostración exitosa de una hipótesis en estudio utilizando evidencia y análisis. Es un concepto erróneo en muchos sentidos, ya que la ciencia en realidad no puede probar nada con certeza. En este sentido, "prueba" es una forma simplificada de decir "confianza muy aumentada".

Una regla es un axioma informal que expresa un punto filosófico. Una regla gobierna cómo se comporta un sujeto bajo ciertas circunstancias. Una regla indica una mayor probabilidad de un resultado específico cuando un sujeto se encuentra en un estado particular. Las "reglas" de Newton o la Navaja de Occam son ejemplos.

Una conjetura es una declaración no (aún) probada, pero que intuitivamente parece ser verdadera, o para la cual el autor tiene algunas razones más complejas para creer que es probable que sea verdadera. Algunas de esas conjeturas engañosamente simples resisten siglos de ataques de los matemáticos más brillantes.

Answer 4

"Ley" es muy probablemente un eufemismo religioso. En filosofía civil, una ley es un decreto decidido por gobernantes. Referirse a un fenómeno natural como una ley probablemente sea simplemente un uso poético: resultados científicos y matemáticos como "decretos" de Dios-de-tu-elección.

Consecuentemente

1. Es muy anticuado referirse a los teoremas como leyes y
2. El término "ley" lleva una connotación de verdad absoluta
3. Puede que prefieras abstenerse de referirse a tus propios resultados como leyes, ya que sonaría innecesariamente pretencioso o arrogante para muchos.