Demostrar que $\sum_{k=0}^n a_k x^k = 0$ tiene al menos $1$ verdadera raíz si $\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} = 0$

Question

Demostrar saber que $$ \frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} +\cdots + \frac{a_n}{n+1} =0$ $: $ a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0$ tiene al menos una solución real.

Sospecho que se ha demostrado con el teorema del valor intermedio. Pero no se puede encontrar dos números que lo satisface.

Answer 1

<blockquote> <p><strong>Indirecta:</strong> $$\int_0^1 a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots a_nx^n= \frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} +\cdots + \frac{a_n}{n+1}=\color{red}0$ $</p> </blockquote> <p>Desaparece de esta integral, es decir que la función era a veces por encima del $x$-eje y a veces por debajo del $^*$. Puesto que esta función es continua, se debe cortar $x$-eje al menos una vez, es decir, debe tener al menos una solución real.</p> <p>$*$ Podemos decir esto desde la función no es $0$ en $(0,1)$, obviamente, o incluso si lo es, entonces esta ecuación tiene infinitamente muchas soluciones.</p>

Answer 2

Deje $$ g (x) = a_0x + a_1\frac {x ^ 2} 2 + a_2\frac {x ^ 3} 3 + \cdots + Teorema de a_n \frac{x^{n+1}}{n+1}.$$ aplicar Rolle a $g(x)$.