Principio de la contracción de Banach

Question

Muestran que hay un % positivo $\gamma$y una función $f(x)$ que es continuo en $[a,b]$ tal que $f(x)=\sin x+ \gamma \int_a^b e^{xy} f(y) \, dy$ % todos $x \in [a,b]$para que poder usar el teorema del punto fijo de Banach tenemos que estar en un espacio métrico completo. Tenga en cuenta que $[a,b]$ es compacto por lo tanto es completo. Ahora la parte difícil es mostrar que $f$ $\gamma$ contractivo.

Answer 1

Que $Bf:= \gamma \int_{a}^{b} e^{xy}f(y) \, \mathrm{d}y$. Podemos aplicar el teorema del punto fijo de Banach a $Af:= \sin(x) +Bf$ si $\left|B\right| |a|$ y $x=a$ si $|a| > |b|$. Entonces tomamos\begin{align} \gamma