Determinación de conjuntos nulos con Tonelli ' teorema s

Question

¿Cómo puedo mostrar que la diagonal $D={(x,y)\in\mathbb R^2\vert x=y}$ es un nullset de Lebesgue en $\mathbb R^2$ utilizando el teorema de Tonelli?

Mi solución hasta ahora, pero no parece muy correcto:

$\intD 1d\lambda = \int{-\infty}^\infty\int{y}^{y}1dxdy=\int{-\infty}^\infty [x]^yydy=\int{-\infty}^\infty0 dy=0$

¿Puedo hacerlo así?

Answer 1

@Sigma, su enfoque es esencialmente correcta. Usted puede probar que el diagonal $D={(x,y)\in\mathbb R^2\vert x=y}$ es un nullset directamente del teorema de Tonelli. Aquí están los detalles.

Puesto que está cerrado $D$ $\mathbb R^2$, $D$ es mensurable y así $1_D$ es una función medible no negativa. Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Tonelli.

\begin{align} \lambda(D)&=\int_{\mathbb R^2} 1D d\lambda = \int{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}1D(x,y) dx dy= \ &=\int{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}1D(x,y) dx\right) dy = \ &=\int{-\infty}^{+\infty}\left(\int{-\infty}^{+\infty}1{{y}} dx\right) dy = \ &=\int_{-\infty}^{+\infty} 0\; dy =0 \end{align}

Answer 2

Un enfoque posible: en primer lugar gire $D$ para el eje horizontal, y recordar que la medida de Lebesgue es invariante bajo rotaciones. Luego de observar que $$ (-\infty,+\infty) \times \{0\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \left( [-n,n] \times \{0\} \right). $$ Si usted demostrar que $\mathcal{L}^1 \left( [-n,n] \times \{0\} \right)=0$ por cada $n$, entonces usted puede utilizar el subadditivity de la medida a la conclusión.

Debemos mostrar ese $\mathcal{L}^1 \left( [-n,n] \times \{0\} \right)=0$ por cada $n$. Pick $\varepsilon >0$ y considerar el conjunto $$ \Omega_\varepsilon = [-n,n] \times (-\varepsilon,\varepsilon). $$ Calcular $\int_{\Omega_\varepsilon} \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ y demostrar que el resultado es de orden $\varepsilon$. Desde $\varepsilon>0$ es arbitrario...

Edit: el primer paso es sólo por comodidad. También se pueden considerar como el conjunto de $\Omega_\varepsilon$ que se extiende entre las líneas de $y=x+\varepsilon$$y=x-\varepsilon$.