Prueba combinatoria de $\sum^{n}_{i=1}\binom{n}{i}i=n2^{n-1}$ .

Question

Demostrar que $$\sum^{n}_{i=1}\binom{n}{i}i=n2^{n-1}$$

No encuentro interpretaciones de conteo para ninguna de las partes. Una pista de "si $S$ es un subconjunto de $\{1, . . . , n\}$ y $S^\prime$ es su complemento, entonces $|S| + |S^\prime| = n$ " también se dio, pero todavía no sé cómo empezar.

Answer 1

Supongamos :

Usted tiene $n$ cuentas, numeradas $1$ a $n$ de la misma masa $=1$ .

1) $\binom{n}{i}$ es el número de conjuntos distintos de $i$ cuentas, donde $i=0,1,2,...n.$

Cada conjunto de $i$ tiene una masa $i\cdot1$ Hay $\binom{n}{i}$ de ellos, de ahí su masa total:

$ T:= \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i\cdot 1.$

2)Cuenta separada $1$ y considerar el número total de conjuntos que se pueden formar con el resto $n-1$ cuentas: $2^{n-1}$ .

Por lo tanto, la adición de cuentas $1$ a cada uno de los conjuntos anteriores concluimos:

Cuenta $1$ está presente en $2^{n-1}$ se establece de la $2^n$ conjuntos originales.

Cuenta $1$ contribuye $2^{n-1} \cdot 1$ a $T$ , también lo hacen las cuentas $2,3,...n $ .

De ahí que..: $T=n2^{n-1}\cdot 1$ .