Lineales vs relación de dispersión cuadrática

Question

En la onda de la mecánica de la relación de dispersión entre la frecuencia de $\omega$ y el número de onda $k$ es lineal: $$\omega_n=c k_n$$

Pero en la mecánica cuántica, basada en la Schrödinger, ecuación, se puede mostrar que tenemos una relación cuadrática entre las dos :

$$\omega_n=\frac{\hbar}{2m}k_n^2$$

• Cuál es la implicación de esta diferencia?
• ¿Dice algo sobre la naturaleza de onda de la onda-funciones en la mecánica cuántica, en comparación con, por ejemplo, las ondas electromagnéticas?

Buscando intuitiva física interpretaciones aquí.

Answer 1

La onda de la mecánica de la relación de dispersión que usted cita es para las ondas electromagnéticas que se propagan en el espacio libre. En otros medios de comunicación, la relación de dispersión no es necesariamente lineal (puede ser cuadrática o de tener un poco más complejo de la dependencia). Así, en este contexto, no hay nada especial acerca de la mecánica cuántica.

De manera más general, la relación de dispersión nos dice acerca de la velocidad de fase de la onda y la velocidad de grupo:

$$v_\text{phase} = \frac{\omega_n}{k_n}$$

y

$$ v_\text{g} \equiv \frac{\partial \omega_n}{\partial k_n} $$

Así, por ejemplo, en contraste con las ondas electromagnéticas en el espacio libre, la particular cuántica de la relación de dispersión se cite tendrá una velocidad de grupo que depende del número de onda. La mecánica cuántica es una interpretación de esto es que la partícula del impulso dependerá de su número de onda ($p = \hbar k$).

Answer 2

Que la velocidad de fase puede tener una dependencia de la longitud de onda y frecuencia de la onda. Por ejemplo, una whistler modo de onda puede tener un cúbicos relación de dispersión a frecuencias bajas. En este límite, el mayor(menor) frecuencias(longitudes de onda) se propagan más rápido que a la inversa. Esto resulta en una especie de "propagación" de la onda de los modos. Este si se ve a menudo aguas arriba de no colisionales magnetizado perturbaciones en el espacio.

También puedes gráfico de $\omega$ vs $\kappa$ y demostrar que la pendiente de la línea en cualquier ($\omega$, $\kappa$) corresponde a la velocidad de grupo y la relación de $\omega$/$\kappa$ corresponde a la velocidad de fase.

Por ejemplo, vea la imagen de abajo, modificado a partir de una figura en Krauss-Varban y Omidi, [1991]:

El $\omega$ vs $\kappa$ diagrama ha sido Doppler-desplaza en un choque resto de marco para este ejemplo concreto, pero debe ilustrar mi punto. Cuando la frecuencia tiende a cero en este diagrama corresponde a una fase-modo permanente (es decir, cero velocidad de fase) en este marco de referencia. En otro marco, del mismo modo habría un número finito de la velocidad de fase. Donde la pendiente de la línea azul llega a cero, la onda de la velocidad de grupo es igual a cero (o de pie).

¿Eso ayuda?

Referencias
Krauss-Varban, D. y N. Omidi "Estructura de la mediana de número de Mach cuasi-paralelo descargas: aguas Arriba y aguas abajo de las ondas," Journal of Geophysical Research 11, pp 17,715--17,731, 1991.