% Polinomio $p(a) = 1$, ¿por qué tiene a lo más 2 raíces del número entero?

Question

La pregunta que estoy tratando de responder es:

Supongamos que es $p(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros. Muestran que si algunos entero un entonces $p(a) = 1$ $p(x)$ tiene a lo más dos raíces del número entero.

No tengo ni idea de cómo empezar. ¡Cualquier ayuda sería increíble!

Answer 1

Si $x_1, x_2, x_3$ son tres raíces distintas entero de $p$, podemos escribir $$p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)q(x)$$ and find $% $ $1=(a-x_1)(a-x_2)(a-x_3)q(a)$$a-x_1, a-x_2, a-x_3$encuentran pares enteros distintos y $q(a)$ es un entero distinto de cero. A lo más dos de $a-x_1, a-x_2, a-x_3$ pueden ser $\in{\pm1}$.

Answer 2

Sugerencia $\ $ es el caso especial $\,\color{#c00}{f(n)=1} $ de las generales siguientes

Idea clave $\ $ La posible factorizations de un polinomio $\in\Bbb Z[x]$ están limitados por el factorizations de los valores de tipo integer que el polinomio toma. Para un ejemplo simple, si algún valor entero tiene pocos factorizations (por ejemplo, una unidad de $\,\pm1 $ o el $p$), entonces el polinomio debe tener también algunos factores, asssuming que los factores son distintos en el punto de evaluación. Más precisamente

Si $\, f(x) = f_1(x)\cdots f_k(x)\,$ $\,f_i\in\Bbb Z[x]\,$ satisfacer $\color{#0a0}{f_i(n) \ne f_j(n)}\,$ $\,i\ne j,$ $\,n\in \Bbb Z$

$\quad \color{#c00}{f(n) =\pm1}\,\Rightarrow\, k\le 2\ $ else $1$ $\rm\,3\,\ \color{#0a0}{distinct}$ factores $\,f_1(n),f_2(n),f_3(n)$

$\quad f(n) = \pm p\,\Rightarrow\, k\le \color{#c0f}4\ $ desde un primer $p$ tiene más de $\,\color{#c0f}4\,$ distintos factores de $\,\pm1,\pm p$

El suyo es un caso especial de la primera (la unidad), donde el $f_i$ son lineales.

Comentario $\ $ Uno puede empujar la idea clave de la empuñadura para obtener un simple algoritmo para el polinomio factorización utilizando la factorización de sus valores enteros y de interpolación de Lagrange. Las ideas detrás de este algoritmo son debidos en parte a los Bernoulli, de Schubert, de Kronecker. Ver esta respuesta para las referencias.