$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{k!}{(n+k+1)!}$$
La anterior identidad fue publicado una vez antes por mí, sin embargo, todos los resultados fueron obtenidos numéricamente la exploración de la identidad en lugar de entender que combinatoria o la realización explícita de manipulaciones en él de manera algebraica. Yo estaba esperando por postear de nuevo yo podría ser capaz de atraer a alguien un poco más capaz que yo para considerar de nuevo si no podría ser una buena combinatoria interpretación para este después de todo, y si hay algunas pautas generales tanto para llegar a estas interpretaciones, y la elección adecuada de manipulaciones algebraicas donde sea necesario para ver.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
DiGi
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Deje que
$$f(n)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{k!}{(n+k+1)!}\;.$$
Entonces
$$\begin{align} \frac{(2n+1)!}{n!}f(n)&=\frac{(2n+1)!}{n!}\sum{k=0}^n\frac{n!\,k!}{k!(n-k)!(n+k+1)!}\\ &=\sum{k=0}^n\frac{(2n+1)!}{(n-k)!(n+k+1)!}\\ &=\sum{k=0}^n\binom{2n+1}{n-k}\\ &=\sum{k=0}^n\binom{2n+1}k\\ &=\frac12\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}k\\ &=2^{2n}\;, \end{align} $$
por lo que
$$f(n)=\frac{4^nn!}{(2n+1)!}=\frac{2^n}{(2n+1)!!}\;.$$
