Cómo demostrar la propiedad distributiva del producto cruzado

Question

Es decir, cómo demostrar la siguiente identidad: $$a \times (b+c) = a \times b + a \times c$$ donde el $\times$ representa el producto cruzado de dos vectores en un espacio euclidiano tridimensional.

Answer 1

Para verlo geométricamente:

Recordemos que $\lVert x\times y\rVert$ representa el área del paralelogramo de lados $x,y$ . Si a continuación se "pegan" los paralelogramos con lados $a,b$ y $a,c$ a lo largo del lado $a$ se obtiene un hexágono (no regular) con la misma área del paralelogramo de lados $a,b+c$ .

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Editar: Como ha señalado correctamente otro usuario, la prueba anterior sólo funciona cuando $a$ se encuentra en el plano abarcado por $b$ y $c$ . Si no, podemos reducir a este caso considerando el triángulo $T$ con base $b+c$ y los lados $b,c$ como sugiere esta imagen 1 :

De hecho, sin pérdida de generalidad podemos suponer que $a$ es ortogonal a $b$ y $c$ . Entonces el ángulo y la proporción entre $a \times b$ y $a \times c$ son los mismos que entre $b$ y $c$ porque en este caso el producto cruzado con $a$ es equivalente a la composición de una rotación por $90$ grados y una dilatación por $\lVert a \rVert$ . Por lo tanto, si $P$ es el prisma con base $T$ y la altura $a$ entonces el área de la proyección de la cara $[a,b]$ en la cara $[a,b+c]$ es igual a la longitud del producto cruzado entre $a$ y la proyección de $b$ en $b+c$ y de forma similar para la cara $[a,c]$ .

1. Cortesía de WikiMedia .

Answer 2

Sólo para enriquecer el post para futuros lectores, me gustaría añadir otra derivación que encontré en internet. Esta prueba utiliza el distributividad del producto punto (que es más fácil de demostrar), y la propiedad de que la conmutación circular de los vectores no cambia el triple producto de los vectores (lo cual es bastante obvio, ya que el triple producto no es más que el volumen del paralelepípedo formado por los vectores).

Dejemos que $d = a \times (b + c) - a \times b - a \times c$

por lo que se requiere demostrar que $d = 0$ :

$d^2$ = $d \cdot d$

$= d \cdot (a \times (b + c) - a \times b - a \times c)$

$= d \cdot (a \times (b + c)) - d \cdot (a \times b) - d \cdot (a \times c)$

$= (d \times a) \cdot (b + c) - (d \times a) \cdot b - (d \times a) \cdot c$

$= (d \times a) \cdot (b + c) - (d \times a) \cdot (b + c)$

$= 0$

Por lo tanto, $d = 0$ Así que $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ .

Answer 3

Dejemos que $a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3),c=(c_1,c_2,c_3)\in\mathbb R^3$ así que $$a\times(b+c)=\begin{vmatrix} i\;\;\;j\;\;\;k \\ a_1\;\;\;a_2\;\;\;a_3 \\ b_1+c_1\;\;\;b_2+c_2\;\;\;b_3+c_3 \end{vmatrix}=i\left(a_2b_3+a_2c_3-a_3b_2-a_3c_2\right)-j(...)+k(...)$$ Ahora trata de reordenar los términos anteriores para encontrar el resultado. Observa que en el primer término tenemos $i\left(a_2b_3+a_2c_3-a_3b_2-a_3c_2\right)=i(a_2b_3-a_3b_2)+i(a_2c_3-a_3c_2)$ .

Answer 4

Encontré una prueba geométrica en https://en.wikiversity.org/wiki/Cross_product . Consulte la sección: Equivalencia de las dos definiciones

Answer 5

Esto es simplemente una ampliación de la respuesta de Srivasta

En primer lugar, piense en $V \times U$ como si tuviera una magnitud igual al área de un paralelogramo:

Área de un paralelogramo

Así, la "sombra" ( $V_s$ ) de V perpendicular a U viene dada por $V_s = \frac{\lvert V \times U \rvert}{\lvert U \rvert}$

"Sombra" de V perpendicular a U: altura del paralelogramo

Ahora defina el vector $V_U = \frac{V \times U}{\lvert U \rvert}$ que debe tener la misma magnitud que $V_s$ ¿pero en qué dirección? Elegimos que sea perpendicular a ambos $U$ y $V$ . La perpendicular a U ya se satisface al considerar la sombra de V en el plano alrededor de U. La perpendicular a V se satisface al girar esta sombra $90 ^{\circ} $

Ahora considere $A_U + B_U$ . Aunque no está dibujado, a partir del diagrama es obvio que esto es igual a $(A+B)_U$ y por lo tanto $A \times U + B \times U = (A+B) \times U$

Sombras de A y B en el plano U

Sombras de A y B en el plano U