Yo estaba fundición acerca de un método que no requiere un montón de trabajo con múltiples ángulos y las identidades trigonométricas. Hasta ahora, he tenido una diferente, aunque en última instancia, relacionadas con el argumento -- (sin el uso de un círculo circunscrito) que me llevó a la misma ecuación, $ \ \frac{1}{\sin\theta} \ = \ \frac{1}{\sin2\theta} \ + \ \frac{1}{\sin3\theta} $ , que Shailesh ya producidos. Aquí hay algo de uso más básico del triángulo de la geometría que lo que yo había tenido.
Para mayor comodidad, vamos a llamar a las longitudes de los lados del polígono $ \ s \ $ $ \ A_1A_2 \ = \ s \ $ y llamar a las otras longitudes de interés $ \ A_1A_3 \ = \ t \ $$ \ A_1A_4 \ = \ u \ $ .
"Drop perpendiculares" a $ \ \overline{A_1A_4} \ $ $ \ A_2 \ $ para producir el punto de $ \ P \ $ e de $ \ A_3 \ $ a producir $ \ Q \ $ . Dado que estamos trabajando con un polígono regular, es sencillo demostrar que $ \ A_1A_2A_3A_4 \ $ es un trapecio y que $ \ PQ \ = \ s \ $ . Extender, dicen , $ \ A_4A_3 \ $ a un punto de $ \ R \ $ : desde $ \ \angle A_2A_3R \ $ es un ángulo exterior de un polígono, $ \ m(\angle A_2A_3R) \ = \ \frac{2 \pi}{n} \ $ . Tenemos $ \ \overline{A_2A_3} \ \ \Vert \ \ \overline{A_1A_4} \ $ , por lo ángulo correspondiente $ \ \angle QA_4A_3 \ $ también tiene una medida de $ \ \frac{2 \pi}{n} \ $ .
En consecuencia, $ \ A_4Q \ = \ A_1P \ = \ s \ \cos \left(\frac{2 \pi}{n} \right) \ $ [está claro que los dos segmentos son congruentes] y así
$$ u \ = \ s \ \left( \ 1 \ + \ 2 \ \cos \left[ \frac{2 \pi}{n} \right] \ \right) \ \ . $$
A pesar de $ \ \Delta A_1A_2A_3 \ $ es isósceles, $ \ m(\angle A_1A_2A_3) \ = \ \pi \ - \ \frac{2 \pi}{n} \ $ por un conocido teorema (o porque es complemento de un ángulo exterior), que en realidad no explotar la Ley de los Cosenos aquí para encontrar $ \ t \ $ . En lugar de ello, obtenemos que $ \ m(\angle A_1A_3A_2 ) \ = \ \frac{1}{2} \ ( \ \pi \ - \ [ \pi \ - \ \frac{2 \pi}{n} ] \ ) \ = \ \frac{\pi}{n} \ $ . A partir de esto, nos encontramos $ \ m(\angle A_1A_3A_4 ) \ = \ \left(\pi \ - \ \frac{2 \pi}{n} \right) \ - \frac{\pi}{n} $ $ \ = \ \left(\pi \ - \ \frac{3 \pi}{n} \right) \ $ .
Por la Ley de los Senos,
$$ \frac{t}{\sin \left( \frac{2 \pi}{n} \right)} \ = \ \frac{u}{\sin \left( \ \pi \ - \ \frac{3 \pi}{n} \ \right) \ } \ \ \Rightarrow \ \ \frac{t}{\sin \left( \frac{2 \pi}{n} \right)} \ = \ \frac{s \ \left( \ 1 \ + \ 2 \ \cos \left[ \frac{2 \pi}{n} \right] \ \right)}{\sin \left( \frac{3 \pi}{n} \right) } $$
[el uso de la identidad "seno de un ángulo es igual al seno de su suplemento"].
En la última parte de la ecuación en discusión, obtenemos
$$ \frac{1}{s} \ = \ \frac{1}{t} \ + \ \frac{1}{u} \ = \ \frac{1}{s} \ \left[ \ \frac{1 }{\left( \ 1 \ + \ 2 \ \cos \left[ \frac{2 \pi}{n} \right] \ \right)} \ \left( \ \frac{\sin \left( \frac{3 \pi}{n} \right)}{\sin \left( \ \frac{2 \pi}{n} \ \right)} \ \right) \ \right] \ \left[ \ 1 \ + \ \left( \ \frac{\sin \left( \frac{2 \pi}{n} \right)}{\sin \left( \ \frac{3 \pi}{n} \ \right)} \ \right) \ \right] $$
$$ \Rightarrow \ \ 1 \ = \ \frac{1 }{\left( \ 1 \ + \ 2 \ \cos \left[ \frac{2 \pi}{n} \right] \ \right)} \ \ \left[ \ \left( \ \frac{\sin \left( \frac{3 \pi}{n} \right)}{\sin \left( \ \frac{2 \pi}{n} \ \right)} \ \right) \ + \ 1 \ \right] $$
$$ \Rightarrow \ \ 1 \ + \ 2 \ \cos \left( \frac{2 \pi}{n} \right) \ = \ 1 \ + \ \left[ \ \frac{\sin \left( \frac{3 \pi}{n} \right)}{\sin \left( \ \frac{2 \pi}{n} \ \right)} \ \right] $$ $$\Rightarrow \ \ 2 \ \sin \left( \frac{2 \pi}{n} \right) \ \cos \left( \frac{2 \pi}{n} \right) \ = \ \sin \left( \frac{3 \pi}{n} \right) \ \ \Rightarrow \ \ \sin \left( \frac{4 \pi}{n} \right) \ = \ \sin \left( \frac{3 \pi}{n} \right) \ \ , $$
la aplicación de la "doble ángulo fórmula" para el seno en la final.
Desde todos los ángulos discutido aquí tiene que medir menos de $ \ \pi \ $ , es el caso que
$$ \frac{4 \pi}{n} \ = \frac{3 \pi}{n} \ \ , $$
que requeriría $ \ \frac{ \pi}{n} \ = \ 0 \ $ o que
$$ \frac{4 \pi}{n} \ = \ \pi \ - \frac{3 \pi}{n} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{7 \pi}{n} \ = \ \pi \ \ \Rightarrow \ \ n \ = \ 7 \ \ . $$