Digamos que tengo un modelo que es como,
$$ Y \;|\; \theta_1 \sim P(Y \;|\; \theta_1) $$ $$\theta_1 \;|\; \theta_2 \sim P(\theta_1 \;|\; \theta_2) $$ $$ \theta_2 \;|\; \theta_3 \sim P(\theta_2 \;|\; \theta_3) $$
donde $Y$ son datos y $\theta_2$ es la media de $\theta_1 \;|\; \theta_2$ .
¿Es necesariamente cierto que $\theta_2 \;|\; Y$ es la media de $\theta_1 \;|\; Y$ ?
Si no es ¿Cómo interpreto $\theta_2 \;|\; Y$ ?
¡Esto es muy bueno! ¿Cómo interpretaría entonces una amplia parte posterior para $\theta_2 \mid Y$ ? Seguramente esto me dice algo sobre mi incertidumbre en $E[\theta_1 \mid Y]$ ?
Lo que quiero decir es que el posterior para $\theta_1$ puede ser bastante amplia, pero la posterior por su media, $\theta_2$ puede ser bastante estrecha. En este caso, nuestra creencia posterior en el valor de la media de $\theta_1$ es bastante "seguro" pero no estamos "seguros" de lo que un sorteo particular de $\theta_1$ se verá así. ¿Cómo puedo cuantificar mi certeza en la media posterior de $\theta_1$ ? Si $E[\theta_1 | Y]$ era una distribución la incertidumbre se cuantifica en la anchura de la posterior (como se ha señalado - claramente no es una distribución).
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