¿Por qué no trabajan los matemáticos en 'diferencia-asintótica' de la primer función de conteo?

Question

Los matemáticos de la espalda en el siglo 19 trató de encontrar una función que satisface $$\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{f(x)}=1$$ and $f(x)$ turns out to be $\frac{x}{\ln x}$, or any function asymptotic to it(like $\text{Li}(x)$). Demostró ser rigurosamente y ahora es conocido como el Teorema de los números Primos.

Sin embargo, no le veo mucho trabajo en la búsqueda de una función que satisface $$\lim_{x\to\infty}(\pi(x)-g(x))=0$$ As far as I know, $$\lim_{x\to\infty}(\pi(x)-\frac{x}{\ln x})=\infty$$ so $\frac{x}{\ln x}$ cannot be a candidate of $g(x)$.

Por otra parte, si dicha función es descubierto, será muy útil en el sentido de que la estimación de número de números primos por debajo de algunos de los grandes $N$ puede llegar a ser más y más precisos como $N$ crece. Este sería, sin duda, será más poderoso que el PNT.

Por qué sólo poco el trabajo que ha hecho por los matemáticos para averiguar $g(x)$?

Answer 1

En breve, porque lo que estamos sugiriendo es abrumadoramente más potente que la multiplicación de la diferencia, hasta el punto de que ninguno de los conocidos técnicas pueden ni siquiera acercarse. No es que esto no es estudiado; de hecho, "aditivo diferencias" en el PNT y funciones relacionadas - pero como se mencionó en un comentario, por lo general, sólo tan buena como la de ser capaz de decir $\pi(x)=f(x)+O(x^\alpha)$ algunos $\alpha$ (normalmente con $\alpha\gt 1/2$). Tenga en cuenta que este tipo de asymptotics implica la 'multiplicación' igualdades que usted menciona (desde entonces $\pi(x)/f(x)=1+O^*(x^{\alpha-1})$), pero el aditivo resultados que usted está solicitando son incluso más fuerte que la reducción de la $\alpha$ a cero.

Answer 2

La pregunta que está sugiriendo, en su forma exacta, básicamente sería una pelea perdida. Usted debe poder encontrar dicha función $g(x)$, esto significaría $$\forall \epsilon > 0\ \exists x_0 \in \mathbb{N}\ \forall x \in \mathbb{N}, x > x_0: |\pi(x) - g(x)| redondo que el más cercano nteger para obtener la prima de $x$-th. Dudo que cualquier persona hoy en día se encuentran esperanzas que como una forma cerrada.